Si te decimos que es posible combinar dos números a través de una operación llamada cociente, y obtener como resultado uno nuevo, es seguro que no te estamos diciendo nada nuevo. Sin embargo, lo que quizás no sepas todavía es que también es posible dividir funciones para obtener una función nueva. Por ejemplo:

fx=x+2gx=1xfx/gx=x+21/x

En este apartado vamos a profundizar en las particularidades de esta operación a través de:

Definición

Se define la división o cociente de dos funciones f(x) y g(x) como:

f/gx=fx/gx

Si alguna de las funciones tiene una imagen que no está definida para algún valor de x, la función cociente, que es en definitiva el cociente de las imágenes, tampoco lo está. Por otro lado, tampoco está definido el cociente para aquellos valores que anulan el demominador g(x). Dicho de otra forma, el dominio de la nueva función es:

Domf/g=DomfDomg-xDomg | gx=0

Al igual que sucedía con la suma, con la resta y con la multiplicación, el dominio de la función cociente es el conjunto intersección de los dominios de las funciones f y g, de manera que si este fuese el conjunto vacío ∅, la nueva función carecería de dominio, es decir, no existiría. Esta es una diferencia fundamental con los números reales, dónde la división de dos números cualesquiera, siempre existe cuando el denominador es distinto de cero.

Cuando se realiza una división de funciones y se simplifica la expresión resultante, esta debe ser acompañada de su dominio. De lo contrario, podrías deducir un dominio después de la simplificación que no sería el correcto. Recuerda que dos funciones son iguales cuando las imágenes y el dominio son el mismo.

Propiedades

La división de funciones no cumple las propiedades que hemos visto en el resto de operaciones. Observa:

  • No conmutativa: f/gg/f

    Es decir, el orden en que operes varía el resultado. Es una propiedad que tampoco se cumple en los números reales: 4/2≠2/4

  • No asociativa: f/g/hf/g/h

    Efectivamente, tampoco se cumple la propiedad asociativa. Sean tres funciones f(x)=1, g(x)=x , h(x)=x2. (f/g)/h=1/x3 y f/(g/h)=x. Es una propiedad que tampoco se cumple en los números reales: (8/4)/2≠8/(4/2)

  • No distributiva: f/g+hf/g + f/h

    Aunque observa que si operamos por la derecha, en lugar de por la izquierda, si se cumple: g+h/f=g/f + h/f. En cualquier caso, para poder decir que se cumple la propiedad distributiva en general, esta debe cumplirse por la derecha y por la izquierda. En los reales ocurre algo parecido: 8/(4+2)≠8/4 + 8/2, pero (4+2)/8 = 4/8 + 2/8

Finalmente, tampoco tiene sentido hablar de elemento neutro de la división de funciones en general, aunque sí de elemento neutro por la derecha. Recuerda que este es el elemento que deja cualquier función igual cuando se opera con él, con lo que el elemento neutro por la derecha de la división de funciones es la función constante f(x)=1 (cualquier función g(x) cumplirá que g(x)/1=g(x)).

Ficha de ejercicios resueltos

Aquí puedes poner a prueba lo que has aprendido en este apartado.

Cociente de funciones

dificultad

Divide las siguientes funciones:

  1. fx=10-x ;gx=1x-2
  2. fx=10-x ;gx=x-2

Ficha de fórmulas

Aquí tienes un completo formulario del apartado División de funciones. Entendiendo cada fórmula serás capaz de resolver cualquier problema que se te plantee en este nivel.

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División de funciones

f/gx=fx/gxDomf/g=DomfDomg-xDomg | g(x)=0

Ficha de apartados relacionados

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