Determinar la ecuación de la hiperbola de eje horizontal

Sabiendo que la ecuación de una hipérbola centrada en el cualquier punto P(x,y) debe tener la forma:

$$\frac{(x-x_0{)}^2}{a^2}-\frac{(y-y_0{)}^2}{b^2}=1$$

Vamos a calcular el valor a y b.

Dado que la distancia focal (2c) es 10, tenemos que:

$$\begin{gathered} 2c=10 \Rightarrow \\ c=5 \end{gathered}$$

Y dado que la distancia entre los vértices (2a) es 8, obtenemos que:

$$\begin{gathered} 2a=8 \Rightarrow \\ a=4 \end{gathered}$$

Para calcular el valor de b, debemos aplicar el teorema de Pitágoras:

$$\begin{gathered} c^2=a^2+b^2 \Rightarrow \\ {b}^2=c^2-a^2 \Rightarrow \\ b=\sqrt{5^2-4^2} \Rightarrow \\ b=\sqrt{9} \\ b=\pm 3 \end{gathered}$$

Dado que b es una distancia, no puede tener un valor negativo. De ahí que nos quedemos con el valor b=3. Por tanto la ecuación queda como sigue:

$$\frac{(x-2{)}^2}{4^2}-\frac{(y-1{)}^2}{3^2}=1$$