Enunciado

dificultad
Dificultad intermedia para los ejercicios de nivel experto

En los v茅rtices de un cuadrado de lado l, como el de la figura, se sit煤an 4 masas. Determina la aceleraci贸n de la masa m sujeta a la acci贸n de las otras tres. 驴Qu茅 valores deben tener las masas para que la masa m estudiada se desplace s贸lo en sentido vertical?

cuatro masas situadas en los v茅rtices de un cuadrado de lado l

Soluci贸n

Datos

鈥婰a propia imagen contiene todos los datos necesarios para la resoluci贸n del problema.

Resoluci贸n

Podemos dibujar, sobre la imagen de la figura, las tres fuerzas que act煤an sobre la masa m, cada una de ellas debida a la presencia de una masa. Adem谩s, situaremos el origen de coordenadas tal y como se indica en la figura, y pondremos de relevancia el hecho de que la diagonal del cuadrado, d, es la hipotenusa de un tri谩ngulo rect谩ngulo cuyos catetos valen l.

cuatro masas y las fuerzas de gravitaci贸n que sufre una de ellas

A partir de la segunda ley de Newton, podemos escribir:

FT=ma

La fuerza total que act煤a sobre la masa vendr谩 dada por la suma vectorial de cada fuerza que act煤a por separado:

FT=Fg1+Fg2+Fg3

Comenzaremos calculando los m贸dulos de cada fuerza, a partir de la expresi贸n general del m贸dulo de la ley de la gravedad para dos masas cualesquiera m y M, Fg=GMmr2

Fg1=Gmm1l2;Fg3=Gmm3l2

Para el caso de la segunda masa m2, debemos determinar la distancia de separaci贸n en funci贸n del lado l. Esto es, la diagonal del cuadrado, d:聽

d2=l2+l2d=2l

A partir de aqu铆, podemos escribir:

Fg2=Gmm22l2=Gmm22l2

Por otro lado, podemos dar la expresi贸n vectorial de estas fuerzas a partir de sus m贸dulos y del vector unitario que las define, que podemos determinar a partir de la figura anterior, quedando:

ur1=-cos45i-sin45jFg1=Fg1ur1ur2=-jFg2=Fg2ur2ur3=cos45i-sin45jFg3=Fg3ur3

Finalmente, podemos escribir:

FT=Fg1+Fg2+Fg3=Gml2m1-cos45i-sin45j+m22-j+m3cos45i-sin45j==Gml222m3-m1i-m22+22m1+m3j

Finalmente, podemos considerar despejar la aceleraci贸n de la expresi贸n de la segunda ley de Newton o principio fundamental, quedando:

a=FTma=G1l222m3-m1i-m22+22m1+m3jm/s2

A partir de la expresi贸n anterior, resulta evidente que si m1 = m3, la aceleraci贸n s贸lo tendr谩 componente vertical y por tanto el cuerpo no se desplazar谩 horizontalmente.

Autor art铆culo
Sobre el autor
Jos茅 Luis Fern谩ndez Yag眉es es ingeniero de telecomunicaciones, profesor experimentado y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo a ayudar a la gente a comprender la f铆sica, las matem谩ticas y el desarrollo web. Ama el queso y el sonido del mar.

F贸rmulas

Estas son las principales f贸rmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teor铆a de los apartados relacionados. Adem谩s, en ellos encontrar谩s, bajo la pesta帽a F贸rmulas, los c贸digos que te permitir谩n integrar estas f贸rmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

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