Enunciado

dificultad

En los v√©rtices de un cuadrado de lado l, como el de la figura, se sit√ļan 4 masas. Determina la aceleraci√≥n de la masa m sujeta a la acci√≥n de las otras tres. ¬ŅQu√© valores deben tener las masas para que la masa m estudiada se desplace s√≥lo en sentido vertical?

cuatro masas situadas en los vértices de un cuadrado de lado l

Solución

Datos

‚ÄčLa propia imagen contiene todos los datos necesarios para la resoluci√≥n del problema.

Resolución

Podemos dibujar, sobre la imagen de la figura, las tres fuerzas que act√ļan sobre la masa m, cada una de ellas debida a la presencia de una masa. Adem√°s, situaremos el origen de coordenadas tal y como se indica en la figura, y pondremos de relevancia el hecho de que la diagonal del cuadrado, d, es la hipotenusa de un tri√°ngulo rect√°ngulo cuyos catetos valen l.

cuatro masas y las fuerzas de gravitación que sufre una de ellas

A partir de la segunda ley de Newton, podemos escribir:

F→T=m·a→ 

La fuerza total que act√ļa sobre la masa vendr√° dada por la suma vectorial de cada fuerza que act√ļa por separado:

F‚ÜíT=F‚Üíg1+F‚Üíg2+F‚Üíg3

Comenzaremos calculando los módulos de cada fuerza, a partir de la expresión general del módulo de la ley de la gravedad para dos masas cualesquiera m y M, Fg=G·M·mr2 

Fg1=G¬∑m¬∑m1l2¬†;‚ÄČFg3=G¬∑m¬∑m3l2¬†

Para el caso de la segunda masa m2, debemos determinar la distancia de separación en función del lado l. Esto es, la diagonal del cuadrado, d: 

d2=l2+l2⇒d=2·l

A partir de aquí, podemos escribir:

‚ÄČFg2=G¬∑m¬∑m22¬∑l2=G¬∑m¬∑m22¬∑l2

Por otro lado, podemos dar la expresión vectorial de estas fuerzas a partir de sus módulos y del vector unitario que las define, que podemos determinar a partir de la figura anterior, quedando:

u‚Üír1=-cos45¬ļ¬∑i‚Üí-sin45¬ļ¬∑j‚Üí‚áíF‚Üíg1=Fg1¬∑u‚Üír1u‚Üír2=-j‚Üí‚áíF‚Üíg2=Fg2¬∑u‚Üír2u‚Üír3=cos45¬ļ¬∑i‚Üí-sin45¬ļ¬∑j‚Üí‚áíF‚Üíg3=Fg3¬∑u‚Üír3¬†

Finalmente, podemos escribir:

F‚ÜíT=F‚Üíg1+F‚Üíg2+F‚Üíg3=G¬∑ml2m1¬∑-cos45¬ļ¬∑i‚Üí-sin45¬ļ¬∑j‚Üí+m22¬∑-j‚Üí+m3¬∑cos45¬ļ¬∑i‚Üí-sin45¬ļ¬∑j‚Üí==G¬∑ml2¬∑22¬∑m3-m1¬∑i‚Üí-m22+22¬∑m1+m3¬∑j‚Üí

Finalmente, podemos considerar despejar la aceleración de la expresión de la segunda ley de Newton o principio fundamental, quedando:

a→=F→Tm⇒a→=G·1l2·22·m3-m1·i→-m22+22·m1+m3·j→ m/s2

A partir de la expresión anterior, resulta evidente que si m1 = m3, la aceleración sólo tendrá componente vertical y por tanto el cuerpo no se desplazará horizontalmente.

Ficha de fórmulas

Estas son las principales f√≥rmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teor√≠a de los apartados relacionados. Adem√°s, en ellos encontrar√°s, bajo la pesta√Īa F√≥rmulas, los c√≥digos que te permitir√°n integrar estas f√≥rmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

Fórmulas
Apartados relacionados
‚ąĎF‚Üí¬†=¬†m¬†¬∑¬†a‚Üí
F‚Üí1=‚ÄČF‚Üí2,1+F‚Üí3,1+¬†‚Ķ¬†+¬†F‚Üín,1