Estabilidad dinámica de un satélite en órbita

Datos

• Radio de la Tierra: R_T = 6370 km = 6370·10³ m
• Masa de la Tierra M_T = 5.97·10²⁴ kg
• Altura sobre la Tierra h = 300 km

Consideraciones previas

Para que el satélite describa una órbita circular, la fuerza gravitatoria debe ser la fuerza centrípeta del m.c.u. que haga al satélite cambiar su vector velocidad de dirección y sentido. Esto fuerza a que el centro de la Tierra esté contenido en el plano de la órbita y además:

$${\overrightarrow{F}}_g={\overrightarrow{F}}_c=m·{\overrightarrow{a}}_c$$

Esta condición de estabilidad dinámica del satélite es la que nos da las claves para la resolución del ejercicio.

Resolución

Aplicando módulos a la condición de estabilidad dinámica, y sabiendo que la distancia r del satélite al centro del planeta es r=R_T + h nos queda:

$$F_g=F_c\Rightarrow G·\frac{M_T·\cancel{m}}{\left(R_T+h\right)\cancel{{}^2}}=\cancel{m}·\frac{v^2}{\cancel{R_T+h}}\Rightarrow v=\sqrt{\frac{G·M_T}{R_T+h}}=\sqrt{\frac{6.67·{10}^{-11}·5.97·{10}^{24}}{\left(6370+300\right)·{10}^3}}=7.72·{10}^{3}m/s$$

Observa que de la condición de estabilidad dinámica se deduce que la altura a la que se encuentre el satélite determina su velocidad en una órbita circular. Una vez obtenida la velocidad orbital, que no es más que la velocidad lineal del movimiento circular uniforme que describe el satélite, determinamos el periodo en la forma:

$$T=\frac{2·\mathrm{\pi }}{\omega }=\frac{2·\mathrm{\pi }}{\mathrm{v}/\left({\mathrm{R}}_{\mathrm{T}}+\mathrm{h}\right)}=\frac{2·\mathrm{\pi }}{7.72·\cancel{{10}^3}/\left(6370+300\right)·\cancel{{10}^3}}=5428s$$

Para comprobar que, efectivamente el valor cumple con la tercera ley de Kepler $T^2=k·r^3$ , reordenaremos la expresión del periodo:

$$\begin{gathered} T=\frac{2·\mathrm{\pi }}{\omega }=\frac{2·\mathrm{\pi }}{{\displaystyle \frac{v}{r}}}=\frac{2·\mathrm{\pi }·\mathrm{r}}{v}=\frac{2·\mathrm{\pi }·\mathrm{r}}{\sqrt{{\displaystyle \frac{G·M_T}{r}}}}=2·\mathrm{\pi }\sqrt{\frac{{\mathrm{r}}^3}{\mathrm{G}·{\mathrm{M}}_{\mathrm{T}}}}\Rightarrow \\ \Rightarrow {\mathrm{T}}^2=\underset{\mathrm{k}}{\underbrace{\frac{4·{\mathrm{\pi }}^2}{\mathrm{G}·{\mathrm{M}}_{\mathrm{T}}}}}·{\mathrm{r}}^3=\mathrm{k}·{\mathrm{r}}^3 \end{gathered}$$

Es decir, el periodo obtenido si cumple con la tercera ley de Kepler.