Momento angular de satélites en órbita

Enunciado

dificultad

Dos satélites describen en torno a la Tierra dos órbitas coplanarias circulares cuyos radios son R y 2·R y sus sentidos contrarios. Determina la relación entre sus momentos angulares suponiendo que sus masas tienen igual valor.

Solución

Datos

Radio del primer satélite: R₁ = R
Radio del primer satélite: R₂ = 2·R

Resolución

La expresión del momento angular de un cuerpo viene dada por:

$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times m \cdot \vec{v}$

Se trata de cuerpos con órbita circular, por lo que podemos los vectores $\vec{r}$ y $\vec{v}$ forman un ángulo de 90º en cualquier punto de la órbita.

De este modo, podemos escribir:

$L = r \cdot m \cdot v$

Podemos encontrar el valor de la velocidad a la que orbita cada satélite a partir de la segunda ley de Newton y teniendo en cuenta que la aceleración que actúa sobre el cuerpo es centrípeta:

$F_{g} = F_{c} = m \cdot a_{c} \Rightarrow G \cdot \frac{M \cdot m}{r^{2}} = m \cdot \frac{v^{2}}{r} \Rightarrow v = \sqrt{\frac{G \cdot M}{r}}$

Por tanto, el valor del momento angular de cada satélite viene dado por:

$\begin{matrix} L_{1} = R \cdot m \cdot \sqrt{\frac{G \cdot M}{R}}; \\ L_{2} = 2 \cdot R \cdot m \cdot \sqrt{\frac{G \cdot M}{2 \cdot R}}; \end{matrix} \Rightarrow \frac{L_{2}}{L_{1}} = \frac{2 \cdot R \cdot m \cdot \sqrt{\frac{G \cdot M}{2 \cdot R}}}{R \cdot m \cdot \sqrt{\frac{G \cdot M}{R}}} = \sqrt{2} \Rightarrow L_{2} = \sqrt{2} \cdot L_{1}$

Una vez obtenida la relación entre los módulos podemos decir que:

Ambos tienen igual punto de aplicación y la misma dirección
Tienen sentido contrario, ya que las órbitas son de sentido contrario

Sobre el autor

José L. Fernández

José Luis Fernández Yagües es ingeniero de telecomunicaciones, profesor experimentado y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo a ayudar a la gente a comprender la física, las matemáticas y el desarrollo web. Ama el queso y el sonido del mar.

Fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

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