Ecuación de la elipse conocida la distancia focal y el eje mayor

Dado que sabemos que el eje mayor (2·a) es 10:

$$\begin{gathered} 2a = 10 \Rightarrow \\ a =\hspace{0.17em}5 \end{gathered}$$

Y que la distancia focal (2·c) mide 6:

$$\begin{gathered} 2c = 6 \Rightarrow \\ c= 3 \end{gathered}$$

Partiendo de estos datos, podemos calcular la longitud del semieje menor (b) por medio de la siguiente ecuación:

$$\begin{gathered} b^2=a^2-c^2 \Rightarrow \\ {b}^2=5^2 -3^2 \Rightarrow \\ b=\sqrt{25-9} \Rightarrow \\ b = \pm 4 \end{gathered}$$

Dado que no puede existir una longitud negativa nos quedaremos con que b = 4. Utilizando ahora la fórmula de la ecuación de una elipse de eje mayor horizontal situada en el punto P(0,0) o lo que es lo mismo x₀ = 0 e y₀ = 0.

$$\begin{gathered} \frac{(x-x_0{)}^2}{a^2}+\frac{(y-y_0{)}^2}{b^2}=1 \Rightarrow \\ \frac{(x-0{)}^2}{5^2}+\frac{(y-0{)}^2}{4^2}=1 \Rightarrow \\ \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1 \end{gathered}$$