Límites sencillos en un punto

Consideraciones previas

Para resolver estos límites seguiremos el método general, esto es, sustituiremos el valor al que tiende la x en la función y veremos si la expresión obtenida tiene sentido. Si es así, ese será el valor del límite.

Recuerda que si f(x) es una función habitual definida por una sola expresión analítica y que está definida en x=a, entonces el valor del límite de la función cuando x tiende a a es f(a).

Resolución

1.-

$$\boxed{\underset{x\to 2}{\lim }(x+3)}$$

$$\underset{x\to 2}{\lim }(x+3)=2+3=5$$

2.-

$$\boxed{\underset{x\to 0}{\lim }\frac{5x^2}{2}}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{5x^2}{2}=\frac{5·0^2}{2}=\frac{0}{2}=0$$

3.-

$$\boxed{\underset{x\to 1}{\lim }\frac{3x}{x^2+x+2}}$$

$$\underset{x\to -1}{\lim }\frac{3x}{x^2+x+2}=\frac{3·\left(-1\right)}{{\left(-1\right)}^2{\displaystyle -}{\displaystyle 1}{\displaystyle +}{\displaystyle 2}}=\frac{-3}{1-1+2}=\frac{-3}{2}$$

4.-

$$\boxed{\underset{x\to -2}{\lim }\sqrt{x+1}}$$

$$\underset{x\to -2}{\lim }\sqrt{x+1}=\sqrt{-2+1}=\sqrt{-1}\Rightarrow \nexists \underset{x\to -2}{\lim }\sqrt{x+1}$$

Efectivamente, x=-2 no pertenece al dominio, ni es un valor que anule ningún denominador, por lo que no tiene sentido calcular el límite de una función en un punto en el que no existe dicha función.

5.-

$$\boxed{\underset{t\to \frac{\mathrm{\pi }}{3}}{\lim }\left(\cos \left(t\right)+2\right)}$$

Este límite presenta la particularidad de que la función, en lugar de estar definida en x f(x) está definida en t, f(t). No te preocupes, el proceso de resolución es igual de sencillo:

$$\underset{t\to \frac{\mathrm{\pi }}{3}}{\lim }\left(\cos \left(t\right)+2\right)=\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right)+2=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$$

Recuerda utilizar tu calculadora en radianes cuando calcules el coseno de π/3.

6.-

$$\boxed{\underset{x\to {10}^{-3}}{\lim }\log \left(10·x\right)}$$

$$\underset{x\to {10}^{-3}}{\lim }\log \left(10·x\right)=\log \left(10·{10}^{-3}\right)=\log \left({10}^{-2}\right)\underset{\log \left(a^b\right)=b·\log \left(a\right)}{=}-2·\log \left(10\right)=-2·1=-2$$

Recuerda las propiedades de los logaritmos, y que, cuando no se indica, la base del logaritmo es 10. Es decir:

$$\log \left(a\right)={\log }_{10}\left(a\right)\Rightarrow \log \left(10\right)={\log }_{10}\left(10\right)=1$$