Continuidad según parámetro

Consideraciones previas

Decimos que una función es continua en un punto cuando el valor de la función en ese punto coincide con el valor del límite de la función en él. Esto se traduce en:

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=L \\ \underset{x\to a^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to a^{+}}{\lim }f\left(x\right)=L \end{gathered}$$

Para estudiar la continuidad de una función en su dominio nos fijamos en los puntos problemáticos para la continuidad, que son:

1. Cambios de rama
2. Denominadores que se anulan. Aunque, estrictamente hablando, no pertenecerían al dominio, tiene sentido estudiar la discontinuidad en ellos

Estudia la teoría relacionada para profundizar en los detalles.

Resolución

1.

$$\boxed{f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}3& \text{si}& x<0\\ x+a& \text{si}& x\ge 0\end{array}\right.}$$

Estudiamos la continuidad en el cambio de rama de x=0, que es el punto problemático:

$$\begin{gathered} f\left(0\right)=0+a=a \\ \begin{array}{c}\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }3=3\\ \underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(x+a\right)=a\end{array}\Rightarrow a=3 \end{gathered}$$

Por tanto, si a=3 la función es continua. En caso contrario, los límites laterales serían diferentes, por lo que estaríamos ante una discontinuidad de salto finito.

2.

$$\boxed{f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}{a}^x+2& \text{si}& x\le 0\\ \ln \left(a+x\right)& \text{si}& x>0 \text{y} a>0\end{array}\right.}$$

Estudiamos la continuidad en el cambio de rama de x=0:

Por tanto, si e³=a, la función es continua. En caso contrario, los límites laterales no coincidirían, y estaríamos ante una discontinuidad de salto finito.

3.

$$\boxed{f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{2+\left|x\right|}{2-x}& \text{si}& x<-1\\ a& \text{si}& x=-1\\ \frac{-1+\sqrt{x+2}}{{\displaystyle \frac{x}{2}+\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}}& \text{si}& x>-1\end{array}\right.}$$

Estudiamos la continuidad en el cambio de rama que se produce en x=-1:

$$\begin{gathered} f\left(-1\right)=a \\ \underset{x\to -1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\frac{2+\left|x\right|}{2-x}=\frac{3}{3}=1 \\ \underset{x\to -1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{-1+\sqrt{x+2}}{{\displaystyle \frac{x+1}{2}}}=\left[\frac{0}{0}\right] \text{IND} \end{gathered}$$

Por tanto, si a=1, la función es continua. Una vez más, si a es distinto de 1 estaríamos ante una discontinuidad de salto finito.

Otros puntos problemáticos donde tendríamos que estudiar la continuidad serían los denominadores que se anulan. El primero:

$$2-x=0\Rightarrow x=2$$

Cómo x=2 no pertenece a la primera rama (x<-1), no hay ningún denominador que se anule en esa primera rama. El segundo seríá:

$$x/2+1/2=0\Rightarrow x=-1$$

Cómo x=-1 no pertenece a la rama x>-1, tampoco hay ningún denominador que se anule en esa rama.