Límites sencillos en infinito

Consideraciones previas

El procedimiento que seguimos para el cálculo del límite es el indicado en el subapartado Método general  de la teoría asociada. Consiste básicamente en sustituir la x por infinito en las funciones y operar. Visita el apartado señalado si te quedan dudas en los procedimientos siguientes.

Resolución

1.-

$$\boxed{\underset{x\to \infty }{\lim }3x^2+x}$$

$$\underset{x\to \infty }{\lim }3x^2+x=3·{\left(\infty \right)}^2+\infty =\infty$$

2.-

$$\boxed{\underset{x\to -\infty }{\lim }3x+x^3-2}$$

En este caso, dado que nos piden el límite en menos infinito, debemos comenzar haciendo el cambio de variable oportuno:

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to \infty }{\lim }f\left(-x\right)$$

Así pues:

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }3x+x^3-2=\underset{x\to \infty }{\lim }3\left(-x\right)+{\left(-x\right)}^3-2=\underset{x\to \infty }{\lim }-3x-x^3-2=\underset{x\to \infty }{\lim }-\left(3x+x^3\right)-2=-\left(3·\infty +{\infty }^3\right)-2=-\infty$$

3.-

$$\boxed{\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{2}+e^{-3x}}$$

Mucho cuidado al sustituir, recuerda que a^-b=1/(a^b), con lo cual:

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{2}+e^{-3x}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{2}+\frac{1}{e^{3x}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{\infty }=\frac{1}{2}$$

4.-

$$\boxed{\underset{x\to \infty }{\lim }\sqrt{x+2}+e^{2x}}$$

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\sqrt{x+2}+e^{2x}=\sqrt{\infty +2}+e^{2\infty }=\infty$$

5.-

$$\boxed{\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\log \left(3\right)}{\sqrt{x}}}$$

Mucho cuidado, puedes estar tentado de hacer el cambio de variable e intentar hacer la sustitución de x por infinito, pero observa que la función no está definida en -∞, pues lo que haya en el interior de la raíz cuadrada de x no puede ser negativo. Por tanto:

$$\nexists \underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\log \left(3\right)}{\sqrt{x}}$$

6.-

$$\boxed{\underset{h\to \infty }{\lim }{3}^{\frac{2}{3h}}+1}$$

Observa que en este caso la variable independiente no es x sino h. No importa, los procedimientos son los mismos:

$$\underset{h\to \infty }{\lim }{3}^{\frac{2}{3h}}+1=3^{\frac{2}{3·\infty }}+1=3^0+1\underset{a^0=1}{=}1+1=2$$

7.-

$$\boxed{\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(\frac{2}{3}\right)}^{\ln \left(x\right)}}$$

Recuerda que una potencia de base entre 0 y 1, al elevarse a infinito tiende a 0:

$$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(\frac{2}{3}\right)}^{\ln \left(x\right)}={\left(\frac{2}{3}\right)}^{\ln \left(\infty \right)}={\left(\frac{2}{3}\right)}^{\infty }=0$$

8.-

$$\boxed{\underset{x\to -\infty }{\lim }{\log }_5\left(-x+2\right)·\sqrt{\frac{-3x}{2}}}$$

Por comodidad, comenzamos cambiando la variable, para tener el límite cuando x→∞:

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }{\log }_5\left(-x+2\right)·\sqrt{\frac{-3x}{2}}=\underset{x\to \infty }{\lim }{\log }_5\left(x+2\right)·\sqrt{\frac{3x}{2}}={\log }_5\left(\infty +2\right)·\sqrt{\frac{3\infty }{2}}=\infty ·\infty =\infty$$

9.-

$$\boxed{\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^x}$$

$$\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^x={\infty }^{\infty }=\infty$$

10.-

$$\boxed{\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(-x\right)}^x}$$

Recuerda que las funciones potenciales sólo están definidas para bases positivas, por tanto:

$$\nexists \underset{x\to \infty }{\lim }{\left(-x\right)}^x$$

Observa bien, que si nos hubieran pedido, en cambio:

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }{\left(-x\right)}^x=\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(x\right)}^{-x}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{x^x}=\frac{1}{\infty }=0$$