Buscar parámetro función dado el valor del límite

Consideraciones previas

Para determinar k comenzaremos buscando el valor de los límites, resolviendo las indeterminaciones por el método que consideremos óptimo, cuando sea necesario, y a partir de ese valor hayaremos k.

Resolución

1.-

$$\boxed{\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2k{x}^4-3k{x}^2+kx-5}{x^2-4x^4}=1}$$

Para calcular el límite será necesario aplicar comparación de infinitos:

$$\begin{gathered} \underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2k{x}^4-3k{x}^2+kx-5}{x^2-4x^4}=\left[\frac{\infty }{\infty }\right]\hspace{0.17em}\text{IND} \\ \underset{x\to \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \mathbf{2}\mathit{k}{x}^4-3k{x}^2+kx-5}}{{\displaystyle x^2-\mathbf{4}{x}^4}}=\frac{2k}{-4} \end{gathered}$$

Ahora simplemente igualamos:

$$\frac{2k}{-4}=1\Rightarrow k=-2$$

2.-

$$\boxed{\underset{x\to \infty }{\lim }\sqrt{2x^2-kx}-\sqrt{3+2x^2}=\sqrt{2}}$$

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\sqrt{2x^2-kx}-\sqrt{3+2x^2}=\left[\infty -\infty \right] \text{IND.}$$

Para resolver esta indeterminación multiplicamos y dividimos por el conjugado:

$$\begin{gathered} \underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\left(\sqrt{2x^2-kx}-\sqrt{3+2x^2}\right)·\left(\sqrt{2x^2-kx}+\sqrt{3+2x^2}\right)}{\left(\sqrt{2x^2-kx}+\sqrt{3+2x^2}\right)}\underset{\left(a+b\right)·\left(a-b\right)=a^2-b^2}{=}\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \cancel{2x^2}-kx-3-\cancel{2x^2}}}{{\displaystyle \sqrt{2x^2-kx}+\sqrt{3+2x^2}}}= \\ \underset{\text{Por comparación de inf.}}{=}\frac{{\displaystyle -k}}{{\displaystyle \sqrt{2}+\sqrt{2}}} \end{gathered}$$

Ahora ya podemos igualar:

$$\frac{{\displaystyle -k}}{{\displaystyle \sqrt{2}+\sqrt{2}}}=\sqrt{2}\Rightarrow \frac{-k}{2\sqrt{2}}=\sqrt{2}\Rightarrow k=-4$$

3.-

$$\boxed{\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(\frac{2x^2+kx+2}{2x^2-x}\right)}^{\frac{5x^2-1}{x}}=\frac{1}{e^4}}$$

$$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(\frac{2x^2+kx+2}{2x^2-x}\right)}^{\frac{5x^2-1}{x}}=\left[1^{\infty }\right] \text{IND.}$$

Este tipo de indeterminaciones se resuelve a partir del número e, $\underset{f\left(x\right)\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{f\left(x\right)}\right)}^{f\left(x\right)}$, con lo que:

$$\begin{gathered} \underset{x\to \infty }{\lim }{\left(\frac{2x^2+kx+2}{2x^2-x}\right)}^{\frac{5x^2-1}{x}}=\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{2x^2+kx+2}{2x^2-x}-1\right)}^{\frac{5x^2-1}{x}}=\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{\cancel{2x^2}+kx+2-\cancel{2x^2}+x}{2x^2-x}\right)}^{\frac{5x^2-1}{x}}= \\ =\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{{\displaystyle \frac{2x^2-x}{kx+2+x}}}\right)}^{\frac{5x^2-1}{x}}=\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{{\displaystyle \frac{2x^2-x}{x\left(k+1\right)+2}}}\right)}^{\frac{5x^2-1}{x}·\frac{2x^2-x}{x\left(k+1\right)+2}·\frac{x\left(k+1\right)+2}{2x^2-x}}=e^{\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{5x^2-1}{x}·\frac{x\left(k+1\right)+2}{2x^2-x}}=e^{\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{5x^3\left(k+1\right)+\dots }{2x^3+\dots }}\underset{\text{Por comp. de inf.}}{=}{e}^{\frac{5\left(k+1\right)}{2}} \end{gathered}$$

Con lo que igualando nos queda...

$$e^{\frac{5k+1}{2}}=\frac{1}{e^4}\underset{a^{-b}=\frac{1}{a^b}}{\Rightarrow }\frac{5k+1}{2}=-4\Rightarrow k=\frac{-9}{5}$$