Enunciado

dificultad

Calcula, cuando sea posible, los siguientes límites. En caso de obtener alguna indeterminación, resuélvela por el método que consideres oportuno:

  1. limxx2+6x-x
  2. limxx5x
  3. limx-x-2x+3x2-6x+x
  4. limx0x3-x-5x2+3x-5
  5. limx3e1x3-1
  6. limx0x3-x-5x2+3x-5+x2+x2x2+2x
  7. limx-5x3-1

Solución

Consideraciones previas

Para resolver estos límites, seguiremos el procedimiento general, que consiste en sustituir el valor de x por el valor al que esta se aproxima, y operar. En caso de obtener alguna operación indeterminada, deberemos buscar el método más apropiado para resolverla, tal y como se explica en la teoría asociada.

Resolución

1.-

limxx2+6x-x

limxx2+6x-x=- IND.limxx2+6x-x·x2+6x+xx2+6x+x=a+b·a-blimxx2+6x-x2x2+6x+x= IND.limxx2+6x-x=limx6xx2+6x+x=·1x·1xlimx6xxx2+6x+xx=limx6x2x2+6xx2+xx=62=3

2.-

limxx5x

limxx5x=0 IND.limxx5x=a=elnalimxelnx5x=lnab=blnaelimx5x·lnx=e5·limxlnxx=Por comparación de infinitose5·0=1

3.-

limx-x-2x+3x2-6x+x

Tal y como hemos visto en otros muchos ejercicios del tema, debemos comenzar por el cambio de variable, para hacer más cómodo el cálculo del límite:

limx-x-2x+3x2-6x+x=limx-x-2-x+3x2+6x-x=limxx+2x-3x2+6x-x=1 IND.limxx+2x-3x2+6x-x=limx1+x+2x-3-1x2+6x-x=limx1+x+2-x+3x-3x2+6x-x=limx1+1x-35x-35·5x-3·x2+6x-x==elimx5x-3·x2+6x-x=elimx5x-3·limxx2+6x-xapdo. 1=e0·3=1

4.-

limx0x3-x-5x2+3x-5

Este caso es bastante inmediato, y no requiere de la resolución de ninguna indeterminación:

limx0x3-x-5x2+3x-5=-55

5.-

limx3e1x3-1

limx3e1x3-1=e10 IND.

Debemos calcular los límites laterales para resolver la indeterminación:

limx3-e1x3-1=e13-3-1=e11--1=e10-=e-=1=0limx3+e1x3-1=e13+3-1=e11+-1=e10+=e=

Como no son iguales, no existe el límite:

limx3-e1x3-1limx3+e1x3-1limx3e1x3-1

6.-

limx0x3-x-5x2+3x-5+x2+x2x2+2x

En este caso, vemos que el primer sumando ya ha sido calculado en el apartado 4, con lo que:

limx0x3-x-5x2+3x-5+x2+x2x2+2x=limx0x3-x-5x2+3x-5+limx0x2+x2x2+2x=-55+limx0x2+x2x2+2x

Debemos expresar la función valor absoluto como función a trozos (consulta los ejercicios del apartado enlazado para un proceso más detallado):

x2+x2x2+2x=x2-x2x2+2xsix-1x2-x-2x2-2xsi-1<x<0x2+x2x2+2xsix0

Como en 0 se produce un cambio de rama, debemos calcular los límites laterales:

limx0-x3-x-5x2+3x-5+x2+x2x2+2x=-55+limx0-x2-x-2x2-2x=-55+limx0-x·x-1-2x·x+1=-55-12limx0+x3-x-5x2+3x-5+x2+x2x2+2x=-55+limx0+x2+x2x2+2x=-55+limx0+x·x+12x·x+1=-55+12

Como los límites laterales son distintos, no existe el límite:

limx0-x3-x-5x2+3x-5+x2+x2x2+2xlimx0+x3-x-5x2+3x-5+x2+x2x2+2xlimx0x3-x-5x2+3x-5+x2+x2x2+2x

7.-

limx-5x3-1

En este caso, x=-5 no pertenece al dominio de la función, con lo que:

limx-5x3-1

Ficha de fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.