Enunciado

dificultad

Estudia la continuidad de las siguientes funciones en los puntos indicados. Cuando sea posible, redefine las funciones para que sean continuas.

  1. fx= x2+3x5 en x=53
  2. fx=3+xx-3 en x=3 y x=0
  3. fx=x3-2x2+3x-6x2-x-2 en x=2
  4. fx=2xsix2x-1six>2en x=2
  5. fx=3-lnx en x=e

Solución

Consideraciones previas

Recuerda que una función es contínua en un punto cuando el valor de la misma en la abscisa de ese punto coincide con el valor del límite de la función en él. En ocasiones esto implica el cálculo de límites laterales.

Resolución

1.

fx= x2+3x5 

Dado que se trata de un polinomio, la función es continua en ℝ, y por tanto también en x=5/3. Podemos comprar que:

f53= 532+3535=259+1=349limx53fx =349

Y, por tanto:

f53=limx53fx 

2.

fx=3+xx-3

Comenzamos estudiando x=3. Observa que justo ahí se anula el denominador pero no el numerador, con lo que habrá una asíntota vertical. Esto implica una discontinuidad inevitable de salto infinito. Matemáticamente:

f3limx33+xx-3=60=x=3 Asíntota vertical

Estudiando en x=0:

3+xx-3

Con lo que la función es continua en x=0.

3.

fx=x3-2x2+3x-6x2-x-2

Vemos que f2. Al tratarse de polinomios tanto el numerador como el denominador, podemos comenzar factorizándolos. De un lado, el numerador:

x3-2x2+3x-6=01-23-622061030x2+3=0x2=-3x3-2x2+3x-6=x2+3x-2

De otro, el denominador:

x2-x-2=0x=1±1-41-22=1±32=x1=-1x2=2x2-x-2=x+1x-2

Ahora estamos en buena disposición para calcular el límite en x=2:

limx2x3-2x2+3x-6x2-x-2=limx2x2+3x-2x+1x-2=72

Estamos, por tanto ante una discontinuidad evitable. Si la función tuviera justamente el valor de ese límite, sería continua, con lo que podemos redefinirla según:

fx=x3-2x2+3x-6x2-x-2six27/2six=2

4.

fx=2xsix2x-1six>2

Justo en x=2 se produce un cambio de rama, con lo que para estudiar el límite estamos obligados a hacer los límites laterales. Empezamos:

f2=22=1limx2-fx=limx2-2x=1limx2+fx=limx2+x-1=2-1=1

Por tanto:

limx2-fx=limx2+fxlimx2fx=1f2=1f es continua en x=2

5.

fx=3-lnx

fe=3-lne=3-1=2limxe3-lnx=3-1=2

Como el valor de la función en el punto coincide con el límite en él, entonces la función es continua en x=e.

Ficha de fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

Fórmulas
Apartados relacionados
1. limxafx=k2.  fa ó fak
limxa-fx=klimxa+fx=l  con kl y k,l
limxa-fx=± y/o limxa+fx=±
fa=limxafx