Continuidad en un punto

Consideraciones previas

Recuerda que una función es contínua en un punto cuando el valor de la misma en la abscisa de ese punto coincide con el valor del límite de la función en él. En ocasiones esto implica el cálculo de límites laterales.

Resolución

1.

$$\boxed{f\left(x\right)= x^2+\frac{3x}{5} }$$

Dado que se trata de un polinomio, la función es continua en ℝ, y por tanto también en x=5/3. Podemos comprar que:

$$\begin{gathered} f\left(\frac{5}{3}\right)= {\left(\frac{5}{3}\right)}^2+\frac{3\left(\frac{5}{3}\right)}{5}=\frac{25}{9}+1=\frac{34}{9} \\ \underset{x\to \frac{5}{3}}{\lim }f\left(x\right) =\frac{34}{9} \end{gathered}$$

Y, por tanto:

$$f\left(\frac{5}{3}\right)=\underset{x\to \frac{5}{3}}{\lim }f\left(x\right)$$

2.

$$\boxed{f\left(x\right)=\frac{3+x}{x-3}}$$

Comenzamos estudiando x=3. Observa que justo ahí se anula el denominador pero no el numerador, con lo que habrá una asíntota vertical. Esto implica una discontinuidad inevitable de salto infinito. Matemáticamente:

$$\begin{gathered} \nexists f\left(3\right) \\ \underset{x\to 3}{\lim }\frac{3+x}{x-3}=\frac{6}{0}=\infty \Rightarrow x=3 \text{Asíntota vertical} \end{gathered}$$

Estudiando en x=0:

$$\frac{3+x}{x-3}$$

Con lo que la función es continua en x=0.

3.

$$\boxed{f\left(x\right)=\frac{x^3-2x^2+3x-6}{x^2-x-2}}$$

Vemos que $\nexists f\left(2\right)$. Al tratarse de polinomios tanto el numerador como el denominador, podemos comenzar factorizándolos. De un lado, el numerador:

$$\begin{gathered} x^3-2x^2+3x-6=0 \\ \begin{array}{ccccc}& 1& -2& 3& -6\\ 2& & 2& 0& 6\\ & 1& 0& 3& 0\end{array}\Rightarrow x^2+3=0\Rightarrow x^2=-3\nexists \\ {x}^3-2x^2+3x-6=\left(x^2+3\right)\left(x-2\right) \end{gathered}$$

De otro, el denominador:

$$\begin{gathered} x^2-x-2=0 \\ x=\frac{1\pm \sqrt{1-4\left(1\right)\left(-2\right)}}{2}=\frac{1\pm 3}{2}=\left\{\begin{array}{l}{x}_1=-1\\ x_2=2\end{array}\right. \\ {x}^2-x-2=\left(x+1\right)\left(x-2\right) \end{gathered}$$

Ahora estamos en buena disposición para calcular el límite en x=2:

$$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^3-2x^2+3x-6}{x^2-x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\left(x^2+3\right)\cancel{\left(x-2\right)}}{\left(x+1\right)\cancel{\left(x-2\right)}}=\frac{7}{2}$$

Estamos, por tanto ante una discontinuidad evitable. Si la función tuviera justamente el valor de ese límite, sería continua, con lo que podemos redefinirla según:

$$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{x^3-2x^2+3x-6}{x^2-x-2}& \text{si}& x\ne 2\\ 7/2& \text{si}& x=2\end{array}\right.$$

4.

$$\boxed{f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{2}{x}& \text{si}& x\le 2\\ x-1& \text{si}& x>2\end{array}\right.}$$

Justo en x=2 se produce un cambio de rama, con lo que para estudiar el límite estamos obligados a hacer los límites laterales. Empezamos:

$$\begin{gathered} f\left(2\right)=\frac{2}{2}=1 \\ \underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{2}{x}=1 \\ \underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }x-1=2-1=1 \end{gathered}$$

Por tanto:

$$\left.\begin{array}{r}\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)\Rightarrow \underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=1\\ f\left(2\right)=1\end{array}\right\}\Rightarrow f \text{es continua en} x=2$$

5.

$$\boxed{f\left(x\right)=3-\ln \left(x\right)}$$

$$\begin{gathered} f\left(e\right)=3-\ln \left(e\right)=3-1=2 \\ \underset{x\to e}{\lim }\left(3-\ln \left(x\right)\right)=3-1=2 \end{gathered}$$

Como el valor de la función en el punto coincide con el límite en él, entonces la función es continua en x=e.