Enunciado

dificultad

Di si las siguientes funciones son continuas en los intervalos indicados:

  1. fx=x+3 en -3,3
  2. fx=3+x2-x en -3, 3
  3. fx=x2+x-3x2-4x+3 en 1,3 y en 1, 3

Solución

Consideraciones previas

Recuerda que, tal y como vimos en la teor√≠a asociada, una funci√≥n es continua en un intervalo abierto cuando lo es en cada uno de sus puntos, sin importar lo que pasa en los extremos del mismo. Por otra parte una funci√≥n es continua en un intervalo cerrado cuando, adem√°s de cumplir lo anterior, se cumple en los extremos limx‚Üía+fx=fa y limx‚Üía-fx=fb.

Resolución

1.

fx=x+3

La función raíz cuadrada es continua en todo su dominio. Calculando este:

x+30Domf = [-3,)

El √ļnico punto que podr√≠a ser problem√°tico es el extremo inferior del dominio, -3, pero como no se encuentra en el intervalo en el que nos piden la continuidad (-3,3), podemos decir que la funci√≥n es continua en todo el intervalo.

2.

fx=3+x2-xf2limx23+x2-x=

Tenemos, por un lado, que la función racional presenta puntos problemáticos para la continuidad en aquellos valores de x que anulan el denominador.

2-x=0x=2

Como está en el intervalo pedido, habrá que estudiarlo. Por otro lado, al ser [-3,3] un intervalo cerrado, deberemos estudiar también qué ocurre en -3 y en 3. Comenzamos estudiando la continuidad en x=2

f2limx23+x2-x=

Se trata de una discontinuidad inevitable de salto infinito. En -3 y en 3: al no ser puntos problem√°ticos para la continuidad, se cumplir√° la continuidad lateral. Observa:

limx-3+fx=f-3=0 y limx3-fx=f3=-6

En definitiva, la función es continua en todos los puntos del intervalo [-3,3], salvo en x=2, donde presenta una discontinuidad de salto infinito.

3.

fx=x2+x-3x2-4x+3

Para estudiar la continuidad en el intervalo (1,3) estudiamos los puntos que pueden presentar un impedimento a la misma (puntos problemáticos). Dado que se trata de una función racional, nos conviene factorizar tanto numerador como denominador:

x2-4x+3=0x=4±-42-4132=4±22=x1= 3x2= 1

Por otro lado:

x2+2x-3=0x=-2±4-41-32=-2±42=x1=1x2=-3

Los puntos problemáticos vienen en aquellos valores de x que anulan el denominador, es decir, x=1 y x=3. Con esta información ya estamos en disposición de decir que la función es continua en el intervalo (1,3). Ahora, para el intervalo [1,3] debemos estudiar el comportamiento en los extremos, que, como hemos visto, son puntos problemáticos de la función.

f1limx1+x2+2x-3x2-4x+3=limx1+x-1x+3x-3x-1=4-2=-2

Es por ello que en x=1 hay una discontinuidad evitable. Por otro lado...

f3limx3-x2+2x-3x2-4x+3=limx3-x+3x-3=60-=-

Con lo que en x=3 se presenta una discontinuidad de salto infinito.

Ficha de fórmulas

Estas son las principales f√≥rmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teor√≠a de los apartados relacionados. Adem√°s, en ellos encontrar√°s, bajo la pesta√Īa F√≥rmulas, los c√≥digos que te permitir√°n integrar estas f√≥rmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

Fórmulas
Apartados relacionados
fa=limx‚Üíafx
1. limxafx=k2.  fa ó fak
limxa-fx=klimxa+fx=l  con kl y k,l
limxa-fx=± y/o limxa+fx=±