Continuidad en un intervalo

Consideraciones previas

Recuerda que, tal y como vimos en la teoría asociada, una función es continua en un intervalo abierto cuando lo es en cada uno de sus puntos, sin importar lo que pasa en los extremos del mismo. Por otra parte una función es continua en un intervalo cerrado cuando, además de cumplir lo anterior, se cumple en los extremos $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(a\right) \text{y} \underset{x\to a^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(b\right)$.

Resolución

1.

$$\boxed{f\left(x\right)=\sqrt{x+3}}$$

La función raíz cuadrada es continua en todo su dominio. Calculando este:

$$x+3\ge 0\Rightarrow Do{m}_f = [-3,\infty )$$

El único punto que podría ser problemático es el extremo inferior del dominio, -3, pero como no se encuentra en el intervalo en el que nos piden la continuidad (-3,3), podemos decir que la función es continua en todo el intervalo.

2.

$$\begin{gathered} \boxed{f\left(x\right)=\frac{3+x}{2-x}} \\ \nexists f\left(2\right) \\ \underset{x\to 2}{\lim }\frac{3+x}{2-x}=\infty \end{gathered}$$

Tenemos, por un lado, que la función racional presenta puntos problemáticos para la continuidad en aquellos valores de x que anulan el denominador.

$$2-x=0\Rightarrow x=2$$

Como está en el intervalo pedido, habrá que estudiarlo. Por otro lado, al ser [-3,3] un intervalo cerrado, deberemos estudiar también qué ocurre en -3 y en 3. Comenzamos estudiando la continuidad en x=2

$$\begin{gathered} \nexists f\left(2\right) \\ \underset{x\to 2}{\lim }\frac{3+x}{2-x}=\infty \end{gathered}$$

Se trata de una discontinuidad inevitable de salto infinito. En -3 y en 3: al no ser puntos problemáticos para la continuidad, se cumplirá la continuidad lateral. Observa:

$$\underset{x\to -3^{+}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(-3\right)=0 \text{y} \underset{x\to 3^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(3\right)=-6$$

En definitiva, la función es continua en todos los puntos del intervalo [-3,3], salvo en x=2, donde presenta una discontinuidad de salto infinito.

3.

$$\boxed{f\left(x\right)=\frac{x^2+x-3}{x^2-4x+3}}$$

Para estudiar la continuidad en el intervalo (1,3) estudiamos los puntos que pueden presentar un impedimento a la misma (puntos problemáticos). Dado que se trata de una función racional, nos conviene factorizar tanto numerador como denominador:

$$\begin{gathered} x^2-4x+3=0 \\ x=\frac{4\pm \sqrt{{\left(-4\right)}^2-4\left(1\right)\left(3\right)}}{2}=\frac{4\pm 2}{2}=\left\{\begin{array}{l}{x}_1= 3\\ x_2= 1\end{array}\right. \end{gathered}$$

Por otro lado:

$$\begin{gathered} x^2+2x-3=0 \\ x=\frac{-2\pm \sqrt{4-\left(4\right)\left(1\right)\left(-3\right)}}{2}=\frac{-2\pm 4}{2}=\left\{\begin{array}{l}{x}_1=1\\ x_2=-3\end{array}\right. \end{gathered}$$

Los puntos problemáticos vienen en aquellos valores de x que anulan el denominador, es decir, x=1 y x=3. Con esta información ya estamos en disposición de decir que la función es continua en el intervalo (1,3). Ahora, para el intervalo [1,3] debemos estudiar el comportamiento en los extremos, que, como hemos visto, son puntos problemáticos de la función.

$$\begin{gathered} \nexists f\left(1\right) \\ \underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x^2+2x-3}{x^2-4x+3}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{\cancel{\left(x-1\right)}\left(x+3\right)}{\left(x-3\right)\cancel{\left(x-1\right)}}=\frac{4}{-2}=-2 \end{gathered}$$

Es por ello que en x=1 hay una discontinuidad evitable. Por otro lado...

$$\begin{gathered} \nexists f\left(3\right) \\ \underset{x\to 3^{-}}{\lim }\frac{x^2+2x-3}{x^2-4x+3}=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\frac{x+3}{x-3}=\frac{6}{0^{-}}=-\infty \end{gathered}$$

Con lo que en x=3 se presenta una discontinuidad de salto infinito.