Enunciado

dificultad
Dificultad f√°cil para los ejercicios de nivel avanzado

Determina la continuidad de las funciones representadas en las siguientes gr√°ficas, y clasifica las discontinuidades que encuentres.

Gr√°ficas para determinar la continuidad.

Nota: Considera que cada cuadro tiene una longitud de una unidad de largo y una de alto.

Solución

Consideraciones previas

Gráficamente podemos saber si una función es contínua o no mirando si la podemos "dibujar" con un solo trazado. Te recomendamos que consultes el apartado relacionado para estudiar los distintos tipos de discontinuidad y cómo son gráficamente.

Resolución

Gráfica para determinar la continuidad de la primera función.

La primera funci√≥n es continua en ‚ĄĚ: puede ser representada de un solo trazado. Observa que presenta un punto anguloso en x=3 y otro en x=4, pero estos no suponen ning√ļn problema para la continuidad de la funci√≥n.

Gráfica para determinar la continuidad de la segunda función.

La segunda función presenta varias discontinuidades. La primera, en x=-3. Como puedes ver, se trata de una asíntota vertical, que desde el punto de vista de la discontinuidad es de tipo inevitable de salto infinito. En ese punto se cumple:

‚ąĄf-3limx‚Üí-3-fx=‚ąělimx‚Üí-3+fx=-‚ąě

La segunda en x=1, es una discontinuidad inevitable de salto finito. Concretamente el salto es de magnitud 4. En ella se cumple:

f1=0limx‚Üí1-fx=0limx‚Üí1+fx=4

Gráfica para determinar la continuidad de la tercera función.

Existen dos discontinuidades. La primera en x=-2, es una discontinuidad evitable. En ella se cumple:

‚ąĄf-2limx‚Üí-2-fx=limx‚Üí-2+fx=limx‚Üí-2fx=1

La razón de que la llamemos evitable es que bastaría hacer f(-2)=1 para que la función fuese continua en el punto. Por otro lado, en x=0 hay una asíntota vertical, con lo que se trata de una discontinuidad inevitable de salto infinito. En ella se cumple:

f0=2limx‚Üí0-fx=2limx‚Üí0+fx=-‚ąě

Gráfica para determinar la continuidad de la cuarta función.

El √ļnico punto de discontinuidad est√° en x=-1. Se trata de una discontinuidad evitable, ya que en √©l se cumple:

f-1=2limx‚Üí-1-fx=limx‚Üí-1+fx=limx‚Üí-1fx=-2

Bastaría hacer coincidir el valor de la función con el del límite para convertir la función en continua (f(-1)=2).

Autor artículo
Sobre el autor
Jos√© Luis Fern√°ndez Yag√ľes es ingeniero de telecomunicaciones, profesor experimentado y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo a ayudar a la gente a comprender la f√≠sica, las matem√°ticas y el desarrollo web. Ama el queso y el sonido del mar.

Fórmulas

Estas son las principales f√≥rmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teor√≠a de los apartados relacionados. Adem√°s, en ellos encontrar√°s, bajo la pesta√Īa F√≥rmulas, los c√≥digos que te permitir√°n integrar estas f√≥rmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

Fórmulas
Apartados relacionados
fa=limx‚Üíafx
1.¬†limx‚Üíafx=k2.¬†‚ąĄ¬†fa¬†√≥¬†fa‚Ȇk
limx‚Üía-fx=klimx‚Üía+fx=l¬†¬†con¬†k‚Ȇl¬†y¬†k,l‚ąą‚ĄĚ
limx‚Üía-fx=¬Ī‚ąě¬†y/o¬†limx‚Üía+fx=¬Ī‚ąě

Y ahora... consulta más ejercicios relacionados o la teoría asociada si te quedaron dudas.

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