Enunciado

dificultad

Determina la continuidad de las funciones representadas en las siguientes gr√°ficas, y clasifica las discontinuidades que encuentres.

Gr√°ficas para determinar la continuidad.

Nota: Considera que cada cuadro tiene una longitud de una unidad de largo y una de alto.


Solución

Consideraciones previas

Gráficamente podemos saber si una función es contínua o no mirando si la podemos "dibujar" con un solo trazado. Te recomendamos que consultes el apartado relacionado para estudiar los distintos tipos de discontinuidad y cómo son gráficamente.

Resolución

Gráfica para determinar la continuidad de la primera función.

La primera funci√≥n es continua en ‚ĄĚ: puede ser representada de un solo trazado. Observa que presenta un punto anguloso en x=3 y otro en x=4, pero estos no suponen ning√ļn problema para la continuidad de la funci√≥n.

Gráfica para determinar la continuidad de la segunda función.

La segunda función presenta varias discontinuidades. La primera, en x=-3. Como puedes ver, se trata de una asíntota vertical, que desde el punto de vista de la discontinuidad es de tipo inevitable de salto infinito. En ese punto se cumple:

f-3limx-3-fx=limx-3+fx=-

La segunda en x=1, es una discontinuidad inevitable de salto finito. Concretamente el salto es de magnitud 4. En ella se cumple:

f1=0limx1-fx=0limx1+fx=4

Gráfica para determinar la continuidad de la tercera función.

Existen dos discontinuidades. La primera en x=-2, es una discontinuidad evitable. En ella se cumple:

f-2limx-2-fx=limx-2+fx=limx-2fx=1

La razón de que la llamemos evitable es que bastaría hacer f(-2)=1 para que la función fuese continua en el punto. Por otro lado, en x=0 hay una asíntota vertical, con lo que se trata de una discontinuidad inevitable de salto infinito. En ella se cumple:

f0=2limx0-fx=2limx0+fx=-

Gráfica para determinar la continuidad de la cuarta función.

El √ļnico punto de discontinuidad est√° en x=-1. Se trata de una discontinuidad evitable, ya que en √©l se cumple:

f-1=2limx-1-fx=limx-1+fx=limx-1fx=-2

Bastaría hacer coincidir el valor de la función con el del límite para convertir la función en continua (f(-1)=2).

Ficha de fórmulas

Estas son las principales f√≥rmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teor√≠a de los apartados relacionados. Adem√°s, en ellos encontrar√°s, bajo la pesta√Īa F√≥rmulas, los c√≥digos que te permitir√°n integrar estas f√≥rmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

Fórmulas
Apartados relacionados
1. limxafx=k2.  fa ó fak
limxa-fx=klimxa+fx=l  con kl y k,l
limxa-fx=± y/o limxa+fx=±
fa=limx‚Üíafx