Enunciado

dificultad

Determina la continuidad de las funciones representadas en las siguientes gráficas, y clasifica las discontinuidades que encuentres.

Gráficas para determinar la continuidad.

Nota: Considera que cada cuadro tiene una longitud de una unidad de largo y una de alto.


Solución

Consideraciones previas

Gráficamente podemos saber si una función es contínua o no mirando si la podemos "dibujar" con un solo trazado. Te recomendamos que consultes el apartado relacionado para estudiar los distintos tipos de discontinuidad y cómo son gráficamente.

Resolución

Gráfica para determinar la continuidad de la primera función.

La primera función es continua en ℝ: puede ser representada de un solo trazado. Observa que presenta un punto anguloso en x=3 y otro en x=4, pero estos no suponen ningún problema para la continuidad de la función.

Gráfica para determinar la continuidad de la segunda función.

La segunda función presenta varias discontinuidades. La primera, en x=-3. Como puedes ver, se trata de una asíntota vertical, que desde el punto de vista de la discontinuidad es de tipo inevitable de salto infinito. En ese punto se cumple:

f-3limx-3-fx=limx-3+fx=-

La segunda en x=1, es una discontinuidad inevitable de salto finito. Concretamente el salto es de magnitud 4. En ella se cumple:

f1=0limx1-fx=0limx1+fx=4

Gráfica para determinar la continuidad de la tercera función.

Existen dos discontinuidades. La primera en x=-2, es una discontinuidad evitable. En ella se cumple:

f-2limx-2-fx=limx-2+fx=limx-2fx=1

La razón de que la llamemos evitable es que bastaría hacer f(-2)=1 para que la función fuese continua en el punto. Por otro lado, en x=0 hay una asíntota vertical, con lo que se trata de una discontinuidad inevitable de salto infinito. En ella se cumple:

f0=2limx0-fx=2limx0+fx=-

Gráfica para determinar la continuidad de la cuarta función.

El único punto de discontinuidad está en x=-1. Se trata de una discontinuidad evitable, ya que en él se cumple:

f-1=2limx-1-fx=limx-1+fx=limx-1fx=-2

Bastaría hacer coincidir el valor de la función con el del límite para convertir la función en continua (f(-1)=2).

Ficha de fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

Fórmulas
Apartados relacionados
limxa-fx=± y/o limxa+fx=±
fa=limxafx
1. limxafx=k2.  fa ó fak
limxa-fx=klimxa+fx=l  con kl y k,l