Estudiar la continuidad de una función

Consideraciones previas

Recuerda que una función es continua en un punto cuando el límite de la función en él coincide con el valor de la misma. Como nos dicen que estudiemos el dominio de la función sin especificar el intervalo, debemos buscar los puntos que pueden resultar problemáticos. Estos son:

• Denominadores que se anulan
• Cambios de rama

Resolución

1.

$$\boxed{f\left(x\right)=x^5+3x^2+\frac{x}{2}+1}$$

Se trata de un polinomio, con $Dom\left(f\right)=\mathrm{ℝ}$. Sabemos que los polinomios son continuos en cualquier valor, como hemos demostrado en la teoría asociada.

2.

$$\boxed{f\left(x\right)=\frac{x-1}{3x+1}}$$

Al ser un cociente de polinomios, comenzando buscando los puntos en que se anula el denominador:

$$3x+1=0\Rightarrow x=\frac{-1}{3} \Rightarrow Dom\left(f\right) =\mathrm{ℝ}-\left\{-\frac{1}{3}\right\}$$

En el punto problemático x=-1/3 sucede que...

$$\begin{gathered} \underset{x\to -\frac{1}{3}}{\lim }\frac{x-1}{3x-1}=\frac{-\raisebox{1ex}{$4$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.}{0}=\infty \\ \nexists f\left(-\frac{1}{3}\right) \end{gathered}$$

Con lo que se presenta una discontinuidad de salto infinito.

3.

$$\boxed{f\left(x\right)=\frac{x+2}{2x^2+2x-4}}$$

De nuevo una función racional, cociente de polinomios. Buscamos los puntos que anulan el denominador:

$$\begin{gathered} 2x^2+2x-4=2\left(x^2+x-2\right) \\ x=\frac{-1\pm \sqrt{1-4\left(1\right)\left(-2\right)}}{2·1}=\frac{-1\pm 3}{2}=\left\{\begin{array}{l}{x}_1=-2\\ x_2=1\end{array}\right. \\ f\left(x\right)=\frac{x+2}{2x^2+2x-4}=\frac{x+2}{2\left(x+2\right)\left(x-1\right)} \\ Dom\left(f\right)=\mathrm{ℝ}-\left\{-2,1\right\} \end{gathered}$$

Con lo que los puntos problemáticos son x=-2 y x=1. Debemos buscar el tipo de discontinuidad en cada uno de ellos. Empezamos por -2:

$$\begin{gathered} \underset{x\to -2}{\lim }\frac{x+2}{2x^2+2x-4}=\left[\frac{0}{0}\right]\text{IND} \\ \underset{x\to -2}{\lim }\frac{x+2}{2x^2+2x-4}=\underset{x\to -2}{\lim }\frac{\cancel{x+2}}{\cancel{2\left(x+2\right)}\left(x-1\right)}=\underset{x\to -2}{\lim }\frac{1}{2\left(x-1\right)}=\frac{1}{2\left(-2-1\right)}=-\frac{1}{6} \end{gathered}$$

Es decir:

$$\begin{gathered} \nexists f\left(-2\right) \\ \underset{x\to -1}{\lim }f\left(x\right)=-\frac{1}{6} \end{gathered}$$

Se trata de una discontinuidad evitable, ya que bastaría hacer:

$$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{x+2}{2x^2+2x-4}& \text{si}& x\ne -2\\ -\frac{1}{6}& \text{si}& x=2\end{array}\right.$$

Para que la función fuese continua en x=-2

En cuanto a x=1:

$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x+2}{2x^2+2x-4}=\frac{3}{0}=\infty$$

Es una discontinuidad inevitable de salto infinito.

4.

$$\boxed{f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}3x+2& \text{si}& x\le 1\\ x^2+x+3& \text{si}& x>1\end{array}\right.}$$

El punto problemático, en este caso, es solo el cambio de rama. Estudiemos el tipo de continuidad en él. Para ello, como sabes, calculamos el valor de la función y el del límite:

$$f\left(1\right)=3·1+2=5$$

Hemos tomado la primera rama ya que es en la que se encuentra el = (≤). En cuanto al límite, tenemos que estudiarlo por la izquierda y por la derecha:

$$\left.\begin{array}{r}\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }3x+2=5\\ \underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }{x}^2+x+3=5\end{array}\right\}\Rightarrow \underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=5$$

Como coincide con el valor de la función, la función es continua en x=1, y por tanto en ℝ.

5.

$$\boxed{f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{x-1}{x+2}& \text{si}& x<0\\ \frac{1}{x^2+x-2}& \text{si}& x>0\end{array}\right.}$$

La particularidad de este caso es, además del punto de cambio de rama, cada rama podría presentar puntos problemáticos en aquellos valores que anulan los respectivos denominadores. Veamos, la primera rama:

$$x+2=0\Rightarrow x=-2$$

En cuanto a la segunda:

$$x^2+x-2=0\Rightarrow \begin{array}{c}\cancel{x=-2}\\ x=1\end{array}$$

Hemos eliminado x=-2 por no encontrarse en la rama. Así pues, los puntos problemáticos son el -2, el 0 y el 1. Empezamos por -2.

$$\begin{gathered} \nexists f\left(-2\right) \\ \underset{x\to -2}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -2}{\lim }\frac{x-1}{x+2}=\frac{-3}{0}=\infty \end{gathered}$$

Se trata por tanto de una discontinuidad inevitable de salto infinito.

En 0, al haber cambio de rama tenemos que distinguir qué pasa por la izquierda y qué por la derecha...

$$\begin{gathered} \nexists f\left(0\right) \\ \underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{x-1}{x+2}=-\frac{1}{2} \\ \underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{x^2+x-2}=-\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Se trata de una discontinuidad evitable. Bastaría hacer, por ejemplo...

$$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{x-1}{x+2}& \text{si}& x\le 0\\ \frac{1}{x^2+x-2}& \text{si}& x>0\end{array}\right.$$

...para hacer desaparecer la discontinuidad.

En 1...

$$\begin{gathered} \nexists f\left(1\right) \\ \underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1}{x+x-2}=\frac{1}{0}=\infty \end{gathered}$$

Se trata de una discontinuidad inevitable de salto infinito.

6.

$$\boxed{f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}3x+2& \text{si}& x<-3\\ \left|2x+3\right|& \text{si}& -3\le x<0\\ 3& \text{si}& x\ge 0\end{array}\right.}$$

A priori, los puntos problemáticos serían -3 y 0. Observa, que la particularidad de esta función a trozos es que presenta, en su interior, un valor absoluto. Como sabes de la teoría enlazada, las funciones en valor absoluto presentan las mismas discontinuidades que las funciones sin valor absoluto, con lo que no habría que añadir puntos problemáticos al -3 y al 0.En cualquier caso, si no te percatas de este detalle, ten presente que las funciones valor absoluto se pueden expresar como funciones a trozos:

$$2x+3=0\Rightarrow x=-\frac{3}{2}\Rightarrow f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}3x+2& \text{si}& x<-3\\ -\left(2x+3\right)& \text{si}& -3\le x\le -3/2\\ 2x+3& \text{si}& -3/2<x<0\\ 3& \text{si}& x\ge 0\end{array}\begin{array}{}\\ \\ \end{array}\right.$$

Así, cuando hagas el estudio en -3/2 y en 3/2 obtendrás que la función es continua en ellos, como cabía esperar. Veamos el -3:

$$\begin{gathered} f\left(-3\right)=\left|2·\left(-3\right)+3\right|=\left|-3\right|=3 \\ \underset{x\to -3^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -3^{-}}{\lim }3x+2=-3 \\ \underset{x\to -3^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\left|2x+3\right|=3 \end{gathered}$$

Luego la función es continua en x=-3. En relación a x=0:

$$\begin{gathered} f\left(0\right)=3 \\ \underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left|2x+3\right|=3 \\ \underset{x\to 0+}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }3=3 \end{gathered}$$

La función también es continua en x=0.

7.

$$\boxed{f\left(x\right)=e^{\frac{1}{3-x}}}$$

El punto problemático sería el denominador del exponente que se anula:

$$3-x=0\Rightarrow x=3$$

Estudiando la continuidad en él...

$$\begin{gathered} \underset{x\to 3}{\lim }{e}^{\frac{1}{3-x}}=\left[e^{\frac{1}{0}}\right]\text{IND} \\ \underset{x\to 3^{-}}{\lim }{e}^{\frac{1}{3-x}}=e^{\frac{1}{0^{+}}}=e^{\infty }=\infty \\ \underset{x\to 3^{+}}{\lim }{e}^{\frac{1}{3-x}}=e^{\frac{1}{0^{-}}}=e^{-\infty }=\frac{1}{e^{\infty }}=0 \end{gathered}$$

Se trata de una discontinuidad inevitable de salto infinito.

8.

$$\boxed{f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}{e}^x& \text{si}& x>1\\ \ln \left(x\right)& \text{si}& x\ge 1\end{array}\right.}$$

El punto problemático es el cambio de rama x=1:

$$\begin{gathered} f\left(1\right)=\ln \left(1\right)=0 \\ \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }{e}^x=e \\ \underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\ln \left(x\right)=\ln \left(1^{+}\right)=0 \end{gathered}$$

Se trata de una discontinuidad inevitable de salto finito. El valor del salto es |e-0| = e.

9.

$$\boxed{f\left(x\right)=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{3-x}}{x}}$$

Comenzamos calculando el dominio:

$$\left.\begin{array}{ccc}3-x& \ge & 0\\ x& \ne & 0\end{array}\right\}\begin{array}{ccc}3& \ge & x\\ x& \ne & 0\end{array}\Rightarrow Dom\left(f\right)=(-\infty ,3]-\left\{0\right\}$$

Estudiamos la continuidad en el punto problemático:

$$\begin{gathered} \nexists f\left(0\right) \\ \underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{3}-\sqrt{3-x}}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\left(\sqrt{3}-\sqrt{3-x}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{3-x}\right)}{x\left(\sqrt{3}+\sqrt{3-x}\right)} \\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{3-\left(3-x\right)}{\sqrt{3}x+x\sqrt{3-x}}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cancel{3-3+x}}{\cancel{x}\left(\sqrt{3}+\sqrt{3-x}\right)}=\frac{1}{2\sqrt{3}} \end{gathered}$$

Se trata de una discontinuidad evitable. Podríamos redefinir la función en un único valor para que fuese continua en todo su dominio:

$$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{3}-\sqrt{3-x}}{x}& \text{si}& x\ne 0\\ \frac{1}{2\sqrt{3}}& \text{si}& x=0\end{array}\right.$$