Enunciado

dificultad
Dificultad intermedia para los ejercicios de nivel avanzado

Determina si las siguientes funciones son continuas o no. En caso de no serlo, estudia el tipo de discontinuidad que presentan:

  1. fx=x5+3x2+x2+1
  2. fx=x-13x+1
  3. fx=x+22x2+2x-4
  4. fx=3x+2six1x2+x+3six>1
  5. fx=x-1x+2six<01x2+x-2six>0
  6. fx=3x+2six<-32x+3si-3x<03six0
  7. fx=3x+2six<-32x+3si-3x<03six0
  8. fx=e13-x
  9. fx=exsix>1lnxsix1
  10. fx=3-3-xx

Soluci贸n

Consideraciones previas

Recuerda que una funci贸n es continua en un punto cuando el l铆mite de la funci贸n en 茅l coincide con el valor de la misma. Como nos dicen que estudiemos el dominio de la funci贸n sin especificar el intervalo, debemos buscar los puntos que pueden resultar problem谩ticos. Estos son:

  • Denominadores que se anulan
  • Cambios de rama

Resoluci贸n

1.

fx=x5+3x2+x2+1

Se trata de un polinomio, con Domf=. Sabemos que los polinomios son continuos en cualquier valor, como hemos demostrado en la teor铆a asociada.

2.

fx=x-13x+1

Al ser un cociente de polinomios, comenzando buscando los puntos en que se anula el denominador:

3x+1=0x=-13Domf=--13

En el punto problem谩tico x=-1/3 sucede que...

limx-13x-13x-1=-430=f-13

Con lo que se presenta una discontinuidad de salto infinito.

3.

fx=x+22x2+2x-4

De nuevo una funci贸n racional, cociente de polinomios. Buscamos los puntos que anulan el denominador:

2x2+2x-4=2x2+x-2x=-11-41-221=-132=x1=-2x2=1fx=x+22x2+2x-4=x+22x+2x-1Domf=--2,1

Con lo que los puntos problem谩ticos son x=-2 y x=1. Debemos buscar el tipo de discontinuidad en cada uno de ellos. Empezamos por -2:

limx-2x+22x2+2x-4=00INDlimx-2x+22x2+2x-4=limx-2x+22x+2x-1=limx-212x-1=12-2-1=-16

Es decir:

f-2limx-1fx=-16

Se trata de una discontinuidad evitable, ya que bastar铆a hacer:

fx=x+22x2+2x-4six-2-16six=2

Para que la funci贸n fuese continua en x=-2

En cuanto a x=1:

limx1x+22x2+2x-4=30=

Es una discontinuidad inevitable de salto infinito.

4.

fx=3x+2six1x2+x+3six>1

El punto problem谩tico, en este caso, es solo el cambio de rama. Estudiemos el tipo de continuidad en 茅l. Para ello, como sabes, calculamos el valor de la funci贸n y el del l铆mite:

f1=31+2=5

Hemos tomado la primera rama ya que es en la que se encuentra el = (鈮). En cuanto al l铆mite, tenemos que estudiarlo por la izquierda y por la derecha:

limx1-fx=limx1-3x+2=5limx1+fx=limx1+x2+x+3=5limx1fx=5

Como coincide con el valor de la funci贸n, la funci贸n es continua en x=1, y por tanto en 鈩.

5.

fx=x-1x+2six<01x2+x-2six>0

La particularidad de este caso es, adem谩s del punto de cambio de rama, cada rama podr铆a presentar puntos problem谩ticos en aquellos valores que anulan los respectivos denominadores. Veamos, la primera rama:

x+2=0x=-2

En cuanto a la segunda:

x2+x-2=0x=-2x=1

Hemos eliminado x=-2 por no encontrarse en la rama. As铆 pues, los puntos problem谩ticos son el -2, el 0 y el 1. Empezamos por -2.

f-2limx-2fx=limx-2x-1x+2=-30=

Se trata por tanto de una discontinuidad inevitable de salto infinito.

En 0, al haber cambio de rama tenemos que distinguir qu茅 pasa por la izquierda y qu茅 por la derecha...

f0limx0-fx=limx0-x-1x+2=-12limx0+fx=limx0+1x2+x-2=-12

Se trata de una discontinuidad evitable. Bastar铆a hacer, por ejemplo...

fx=x-1x+2six01x2+x-2six>0

...para hacer desaparecer la discontinuidad.

En 1...

f1limx1fx=limx11x+x-2=10=

Se trata de una discontinuidad inevitable de salto infinito.

6.

fx=3x+2six<-32x+3si-3x<03six0

A priori, los puntos problem谩ticos ser铆an -3 y 0. Observa, que la particularidad de esta funci贸n a trozos es que presenta, en su interior, un valor absoluto. Como sabes de la teor铆a enlazada, las funciones en valor absoluto presentan las mismas discontinuidades que las funciones sin valor absoluto, con lo que no habr铆a que a帽adir puntos problem谩ticos al -3 y al 0.En cualquier caso, si no te percatas de este detalle, ten presente que las funciones valor absoluto se pueden expresar como funciones a trozos:

2x+3=0x=-32fx=3x+2six<-3-2x+3si-3x-3/22x+3si-3/2<x<03six0

As铆, cuando hagas el estudio en -3/2 y en 3/2 obtendr谩s que la funci贸n es continua en ellos, como cab铆a esperar. Veamos el -3:

f-3=2-3+3=-3=3limx-3-fx=limx-3-3x+2=-3limx-3+fx=limx3+2x+3=3

Luego la funci贸n es continua en x=-3. En relaci贸n a x=0:

f0=3limx0-fx=limx0-2x+3=3limx0+fx=limx0+3=3

La funci贸n tambi茅n es continua en x=0.

7.

fx=e13-x

El punto problem谩tico ser铆a el denominador del exponente que se anula:

3-x=0x=3

Estudiando la continuidad en 茅l...

limx3e13-x=e10INDlimx3-e13-x=e10+=e=limx3+e13-x=e10-=e-=1e=0

Se trata de una discontinuidad inevitable de salto infinito.

8.

fx=exsix>1lnxsix1

El punto problem谩tico es el cambio de rama x=1:

f1=ln1=0limx1-fx=limx1-ex=elimx1+fx=limx1+=limx1+lnx=ln1+=0

Se trata de una discontinuidad inevitable de salto finito. El valor del salto es |e-0| = e.

9.

fx=3-3-xx

Comenzamos calculando el dominio:

3-x0x03xx0Domf=(-,3]-0

Estudiamos la continuidad en el punto problem谩tico:

f0limx0fx=limx03-3-xx=limx03-3-x3+3-xx3+3-xlimx03-3-x3x+x3-x=limx03-3+xx3+3-x=123

Se trata de una discontinuidad evitable. Podr铆amos redefinir la funci贸n en un 煤nico valor para que fuese continua en todo su dominio:

fx=3-3-xxsix0123six=0

Autor art铆culo
Sobre el autor
Jos茅 Luis Fern谩ndez Yag眉es es ingeniero de telecomunicaciones, profesor experimentado y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo a ayudar a la gente a comprender la f铆sica, las matem谩ticas y el desarrollo web. Ama el queso y el sonido del mar.

F贸rmulas

Estas son las principales f贸rmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teor铆a de los apartados relacionados. Adem谩s, en ellos encontrar谩s, bajo la pesta帽a F贸rmulas, los c贸digos que te permitir谩n integrar estas f贸rmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

F贸rmulas
Apartados relacionados
fa=limxafx
limxa-fx=y/olimxa+fx=
1.limxafx=k2.fa聽贸聽fak
limxa-fx=klimxa+fx=l聽conklyk,l
fx=Expr1siSubconjunto1Expr2siSubconjunto2ExprnsiSubconjunton
y=fx=fxsifx0-fxsifx<0

Y ahora... consulta m谩s ejercicios relacionados o la teor铆a asociada si te quedaron dudas.

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