Calculo de la tasa de variación media

Consideraciones previas

Recuerda que la tasa de variación media de una función en un intervalo nos permite estudiar el cambio que, de media, experimenta dicha función en él. Podemos calcularla según:

$$T.V.M{.}_{\left[a, b\right]}=\frac{\text{Variación de} y}{\text{Variación de} x}=\frac{∆y}{∆x}=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}$$

Si, en lugar de los extremos a y b del intervalo, tenemos el extremo inferior a y su longitud h, podemos escribir:

$$T.V.M{.}_{\left[a, a+h\right]}=\frac{\text{Variación de} y}{\text{Variación de} x}=\frac{∆y}{∆x}=\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}$$

Resolución

1. $$\boxed{f\left(x\right)=2x^2-\frac{3x}{5 }}$$

En el intervalo $\left[5,10\right]$, la tasa de variación media es: $$\begin{gathered} T.V.M{.}_{\left[5, 10\right]}=\frac{f\left(10\right)-f\left(5\right)}{10-5}=\frac{\left(2·{10}^2-{\displaystyle \frac{3·10}{5}}\right)-\left(2·5^2-{\displaystyle \frac{3·5}{5}}\right)}{5}= \\ \frac{\left(200-6\right)-\left(50-3\right)}{5}=\frac{194-47}{5}=\frac{147}{5} \end{gathered}$$

2. $$\boxed{f\left(x\right)=\frac{3x+2}{x-1}}$$

En el intervalo $\left[2, 2+h\right]$, la tasa de variación media es: $$\begin{gathered} T.V.M{.}_{\left[2, 2+h\right]}=\frac{f\left(2+h\right)-f\left(2\right)}{2+h-2}=\frac{\left({\displaystyle \frac{3\left(2+h\right)+2}{2+h-1}}\right)-\left({\displaystyle \frac{3·2+2}{2-1}}\right)}{h}= \\ \frac{{\displaystyle \frac{8+3h}{h+1}-8}}{h}=\frac{8+3h-8\left(h+1\right)}{h\left(h+1\right)}=\frac{-5h}{h\left(h+1\right)}=\frac{-5}{h+1} \end{gathered}$$

h sería la longitud del intervalo, con lo que, como puedes ver, la tasa de variación media de la función en un intervalo cuyo extremo inferior es 2, depende de h.

3. $$\boxed{f\left(x\right)=\sqrt{x+3}}$$

En el intervalo $\left[x,a\right]$, la tasa de variación media es: $$T.V.M{.}_{\left[x,a\right]}=\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}=\frac{\sqrt{x+3}-\sqrt{a+3}}{x-a}$$

En este caso se sobreentiende a>x.

4. $$\boxed{f\left(x\right)=x^3+x}$$

En el intervalo $\left[-3,0\right]$, la tasa de variación media es: $$T.V.M{.}_{\left[-3,0\right]}=\frac{f\left(0\right)-f\left(-3\right)}{0-\left(-3\right)}=\frac{0-\left({\left(-3\right)}^3+\left(-3\right)\right)}{3}=\frac{30}{3}=10$$

5. $$\boxed{f\left(x\right)=a{x}^2+b}$$

En el intervalo $\left[-1,1\right]$, la tasa de variación media es: $$T.V.M{.}_{\left[-1,1\right]}=\frac{f\left(1\right)-f\left(-1\right)}{1-\left(-1\right)}=\frac{\left(a·1^2+b\right)-\left(a·{\left(-1\right)}^2+b\right)}{2}=\frac{0}{2}=0$$

Observa en este último ejemplo que el valor de la tasa de variación media no depende de b. Así, para dos valores genéricos $\left[x_{0, }{x}_1\right]$ nos quedaría:

$$T.V.M{.}_{\left[x_0, x_1\right]}=\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_0\right)}{x_1-x_0}=\frac{a{x_1}^2+\cancel{b}-\left(a{x_0}^2+\cancel{b}\right)}{x_1-x_0}=\frac{a\left({x_1}^2-{x_0}^2\right)}{x_1-x_0}$$