Enunciado

dificultad

Determina la tasa de variación media de las funciones en los intervalos indicados

  1. fx=2x2-3x5  en 5,10
  2. fx=3x+2x-1 en 2, 2+h
  3. fx=x+3 en x,a
  4. fx=x3+x en -3,0
  5. fx=ax2+b en -1, 1

Solución

Consideraciones previas

Recuerda que la tasa de variación media de una función en un intervalo nos permite estudiar el cambio que, de media, experimenta dicha función en él. Podemos calcularla según:

T.V.M.a, b=Variación de yVariación de x=yx=fb-fab-a

Si, en lugar de los extremos a y b del intervalo, tenemos el extremo inferior a y su longitud h, podemos escribir:

T.V.M.a, a+h=Variación de yVariación de x=yx=fa+h-fah

Resolución

1. fx=2x2-3x5 

En el intervalo  5,10, la tasa de variación media es: T.V.M.5, 10=f10-f510-5=2·102-3·105-2·52-3·555=200-6-50-35=194-475=1475

2. fx=3x+2x-1 

En el intervalo 2, 2+h, la tasa de variación media es: T.V.M.2, 2+h=f2+h-f22+h-2=32+h+22+h-1-3·2+22-1h=8+3hh+1-8h=8+3h-8h+1hh+1=-5hhh+1=-5h+1

h sería la longitud del intervalo, con lo que, como puedes ver, la tasa de variación media de la función en un intervalo cuyo extremo inferior es 2, depende de h.

3. fx=x+3

En el intervalo x,a, la tasa de variación media es: T.V.M.x,a=fx-fax-a=x+3-a+3x-a

En este caso se sobreentiende a>x.

4. fx=x3+x

En el intervalo -3,0, la tasa de variación media es: T.V.M.-3,0=f0-f-30--3=0--33+-33=303=10

5. fx=ax2+b

En el intervalo -1,1, la tasa de variación media es: T.V.M.-1,1=f1-f-11--1=a·12+b-a·-12+b2=02=0

Observa en este último ejemplo que el valor de la tasa de variación media no depende de b. Así, para dos valores genéricos x0, x1 nos quedaría:

T.V.M.x0, x1=fx1-fx0x1-x0=ax12+b-ax02+bx1-x0=ax12-x02x1-x0

Ficha de fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

Fórmulas
Apartados relacionados
T.V.M a, b =fb-fab-aT.V.M a, a+h =fa+h-fah