Derivadas sucesivas aplicando definición

Consideraciones previas

Recuerda que la derivada de una función f(x), con notación f'(x), asocia, a cada x, la rapidez de cambio de la función oiginal en ese punto, es decir, su tasa de variación instantánea.

Definimos la derivada como: $$f\text{'}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}$$

Por tanto, es posible calcular reiteradamente la derivada de una función obteniendo derivadas sucesivas. Es decir, la primera derivada f'(x), la segunda derivada f''(x), la tercera derivada f'''(x), etc.

Finalmente, recuerda que desde un punto de vista geométrico, la derivada de una función en el punto de abscisa x=a es la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto.

Resolución

Usaremos la formula de la derivada $f\text{'}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}$ para resolver:

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=\frac{x^3}{3}+2x-1 \\ f\left(x+h\right)=\frac{{\left(x+h\right)}^3}{3}+2\left(x+h\right)-1 \\ f\text{'}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{{\left(x+h\right)}^3}{3}}+2\left(x+h\right)-1-\left({\displaystyle \frac{x^3}{3}}+2x-1\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{x^3+3x^{2}h+3x{h}^2+h^3}{3}}+2x+2h-1-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}-2x+1}{h}= \\ =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{x^3+3x^{2}h+3x{h}^2+h^3+6x+6h-3-x^3-6x+3}{3}}}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{3x^{2}h+3x{h}^2+h^3+6h}{3h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{h}{h}\left(\frac{3x^2+3xh+h^2+6}{3}\right)= \\ =\frac{3x^2+6}{3}=x^2+2 \end{gathered}$$

Calculamos la segunda derivada: $f\text{'}\text{'}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\text{'}\left(x+h\right)-f\text{'}\left(x\right)}{h}$

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x+h\right)={\left(x+h\right)}^2+2 \\ f\text{'}\left(x\right)=x^2+2 \\ f\text{'}\text{'}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\left(x+h\right)}^2+2-\left(x^2+2\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{x^2+h^2+2xh+2-x^2-2}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{h^2+2xh}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{h}{h}\left(\frac{h+2x}{1}\right)=2x \end{gathered}$$

Hacemos lo mismo con la tercera derivada: $f\text{'}\text{'}\text{'}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\text{'}\text{'}\left(x+h\right)-f\text{'}\text{'}\left(x\right)}{h}$

$$\begin{gathered} f\text{'}\text{'}\left(x+h\right)=2\left(x+h\right) \\ f\text{'}\text{'}\left(x\right)=2x \\ f\text{'}\text{'}\text{'}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{2x+2h-2x}{h}=2 \end{gathered}$$

Finalmente, para obtener el valor que tendrá la pendiente de la recta tangente a $f\left(x\right) \text{en} x=3$ sustituimos en la primera derivada y nos quedaría:

$$f\text{'}\left(x\right)=x^2+2\Rightarrow f\text{'}\left(3\right)=3^2+2=11$$