Enunciado

dificultad

Calcula hasta la 3ª derivada aplicando la definición en la función fx=x33+2x-1

Qué valor tendrá la pendiente de la recta tangente a f(x) en x=3.


Solución

Consideraciones previas

Recuerda que la derivada de una función f(x), con notación f'(x), asocia, a cada x, la rapidez de cambio de la función oiginal en ese punto, es decir, su tasa de variación instantánea.

Definimos la derivada como: f'x=limh0fx+h-fxh

Por tanto, es posible calcular reiteradamente la derivada de una función obteniendo derivadas sucesivas. Es decir, la primera derivada f'(x), la segunda derivada f''(x), la tercera derivada f'''(x), etc.

Finalmente, recuerda que desde un punto de vista geométrico, la derivada de una función en el punto de abscisa x=a es la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto.

Resolución

Usaremos la formula de la derivada f'x=limh0fx+h-fxh para resolver:

fx=x33+2x-1fx+h=x+h33+2x+h-1f'x=limh0x+h33+2x+h-1-x33+2x-1h=limh0x3+3x2h+3xh2+h33+2x+2h-1-x33-2x+1h==limh0x3+3x2h+3xh2+h3+6x+6h-3-x3-6x+33h=limh03x2h+3xh2+h3+6h3h=limh0hh3x2+3xh+h2+63==3x2+63=x2+2

Calculamos la segunda derivada: f''x=limh0f'x+h-f'xh

f'x+h=x+h2+2f'x=x2+2f''x=limh0x+h2+2-x2+2h=limh0x2+h2+2xh+2-x2-2h=limh0h2+2xhh=limh0hhh+2x1=2x

Hacemos lo mismo con la tercera derivada: f'''x=limh0f''x+h-f''xh

f''x+h=2x+hf''x=2xf'''x=limh02x+2h-2xh=2

Finalmente, para obtener el valor que tendrá la pendiente de la recta tangente a fx en x=3 sustituimos en la primera derivada y nos quedaría:

f'x=x2+2f'3=32+2=11

Ficha de fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

Fórmulas
Apartados relacionados
f'x=limh0fx+h-fxh