Interpretación gráfica de la derivada

Consideraciones previas

Recuerda que la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto

Expresamos la pendiente de una recta que pasa por dos puntos (x₁, y₁), (x₂, y₂) de la siguiente manera:

$$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

Si deseas profundizar sobre la interpretación gráfica de la derivada, una vez terminado este ejercicio, visita el siguiente.

Resolución

1. En f'(-3) la pendiente de la recta tangente, en azul, es 0, porque la recta es horizontal. Por tanto f'(-3)=0.

2. Para calcular f'(2), es decir, la pendiente de la recta tangente, en naranja en este caso, que pasa por el punto con abscisa x=2 de la función f(x), cogemos dos puntos cualesquiera de la recta en el punto y los usamos en la formula $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$. Así, considerando (0,4) y (3,5) nos queda:

$$f\text{'}\left(2\right)=\frac{5-4}{3-0}=\frac{1}{3}$$

3. Calculamos ahora f'(-2). Para la recta tangente, en verde, resulta más complicado encontrar puntos discretos (valores enteros) para el cálculo de su pendiente. Podemos usar los siguientes, (-0.5, 1) y (1.5, 0), quedando:

$$f\text{'}\left(-2\right)=\frac{0-1}{1,5-\left(-0,5\right)}=-\frac{1}{2}$$

Observa que, en este último caso podríamos haber llegado a la misma conclusión teniendo presente que la recta tangente decrece una unidad vertical por cada dos horizontales, con lo que m=-1/2.