Tasa de variación instantánea

Consideraciones previas

Recuerda que la tasa de variación instantánea de una función en un punto nos dice cuánto varía la función en dicho punto. Hemos estudiado dos expresiones alternativas para su cálculo:

$$T.V.I.\left(a\right)=\underset{b\to a}{\lim }\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}; T.V.I.\left(a\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}$$

En el caso de que nos den la función gráficamente, la tasa de variación instantánea en el punto a será igual a la pendiente de la recta tangente en dicho punto. Recuerda que, conocidos dos puntos por los que pasa una recta, P₁(x₁, y₁) ,P₂(x₂, y₂), la pendiente m se puede calcular según:

$$m=\frac{∆y}{∆x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

Resolución

1. $$\boxed{f\left(x\right)=x^2-2 \text{en} x=3}$$

En este caso, usaremos la formula: $T.V.I.\left(a\right)=\underset{b\to a}{\lim }\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}$ con lo que nos quedaría:

$$\begin{array}{c}f\left(a\right)=f\left(3\right)=3^2-2=7\\ f\left(b\right)=b^2-2\end{array}$$

$$T.V.I.\left(3\right)=\underset{b\to 3}{\lim }\frac{b^2-2-7}{b-3}=\underset{b\to 3}{\lim }\frac{b^2-9}{b-3}\underset{\left(a+b\right)\left(a-b\right)=a^2-b^2}{=}\underset{b\to 3}{\lim }\frac{\left(b+3\right)\cancel{\left(b-3\right)}}{\cancel{\left(b-3\right)}}=\underset{b\to 3}{\lim }b+3=6$$

2.$$\boxed{f\left(x\right)=\frac{1}{x-1} \text{en} x=a}$$

Volveremos a usar la formula anterior $T.V.I.\left(a\right)=\underset{b\to a}{\lim }\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}$ para resolver el apartado:

$$\begin{gathered} f\left(a\right)=\frac{1}{a-1} \\ f\left(b\right)=\frac{1}{b-1} \end{gathered}$$

$$T.V.I.\left(a\right)=\underset{b\to a}{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{1}{b-1}-\frac{1}{a-1}}}{b-a}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{a-1}-\frac{1}{a-1}}}{b-a}=\raisebox{1ex}{$0$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$0$}\right. \text{IND.}$$

Resolvemos la indeterminación simplificando la función original antes de sustituir por el valor del límite:

$$T.V.I.\left(a\right)=\underset{b\to a}{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{1}{b-1}}-{\displaystyle \frac{1}{a-1}}}{b-a}=\underset{b\to a}{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{a-b}{\left(b-1\right)\left(a-1\right)}}}{b-a}=\underset{b\to a}{\lim }\frac{-\cancel{\left(b-a\right)}}{\cancel{\left(b-a\right)}\left(b-1\right)\left(a-1\right)}=\frac{-1}{{\left(a-1\right)}^2}$$

3.$$\boxed{f\left(x\right)=\frac{5-x}{3} \text{en} x=\sqrt{3}}$$

En este caso usaremos la formula $T.V.I.\left(a\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}$ para resolver:

$$\begin{gathered} f\left(a\right)=f\left(\sqrt{3}\right)=\frac{5-\sqrt{3}}{3} \\ f\left(a+h\right)=f\left(\sqrt{3}+h\right)=\frac{5-\left(\sqrt{3}+h\right)}{3} \end{gathered}$$

$$T.V.I.\left(\sqrt{3}\right)=\underset{h\to 0}{\lim }=\frac{{\displaystyle \frac{5-\left(\sqrt{3}+h\right)}{3}}-{\displaystyle \frac{5-\sqrt{3}}{3}}}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{5-\left(\sqrt{3}+h\right)-\left(5-\sqrt{3}\right)}{3h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\cancel{5}-\cancel{\sqrt{3}}-h-\cancel{5}+\cancel{\sqrt{3}}}{3h}=\raisebox{1ex}{$-1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.$$

4.$$\boxed{f\left(x\right)=\sqrt{x+2} \text{en} x=1}$$

Solucionaremos con la formula $T.V.I.\left(a\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}$ y nos queda:

$$\begin{gathered} f\left(a\right)=f\left(1\right)=\sqrt{3} \\ f\left(a+h\right)=f\left(1+h\right)=\sqrt{3+h} \end{gathered}$$

$$T.V.I.\left(1\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{3+h}-\sqrt{3}}{h}=\raisebox{1ex}{$0$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$0$}\right. \text{IND.}$$

Para resolver la indeterminación, procederemos como hasta ahora:

$$\begin{gathered} T.V.I.\left(1\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{3+h}-\sqrt{3}}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\left[\left(\sqrt{3+h}\right)-\sqrt{3}\right]\left[\left(\sqrt{3+h}\right)+\sqrt{3}\right]}{h\left[\left(\sqrt{3+h}\right)+\sqrt{3}\right]}\underset{\left(a+b\right)\left(a-b\right)=a^2-b^2}{=} \\ =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\left(\sqrt{3+h}\right)}^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2}{h\left[\left(\sqrt{3+h}\right)+\sqrt{3}\right]}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\cancel{3}+\cancel{h}-\cancel{3}}{\cancel{h}\left[\left(\sqrt{3+h}\right)+\sqrt{3}\right]}=\frac{1}{2\sqrt{3}} \end{gathered}$$

5.

Recordamos que la tasa de variación instantánea coincide con el valor de la pendiente de la recta tangente. Si dibujamos esta en x=-3, que es el vértice de la parábola, nos damos cuenta que la recta es horizontal:

La pendiente de una recta horizontal es 0, con lo que $T.V.I.(-3)=0$

6.

En este caso podemos hacer una razonamiento similar al del apartado anterior. La cuestión es... ¿cómo calculamos la pendiente de la recta tangente, en verde? Podemos escoger dos puntos cualesquiera, y aplicar la fórmula:

$$m=\frac{∆y}{∆x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

De esta manera nos damos cuenta que, por cada unidad que la recta se incrementa en horizontal, se incrementa media en horizontal. Dicho de otra manera:

$$m=\frac{∆y}{∆x}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}}{1}=\frac{1}{2}$$

Con lo que, el valor de la tasa de variación instantánea en x=-1 queda:

$$T.V.I.\left(-1\right)=\frac{1}{2}$$

7.$$\boxed{s\left(t\right)=3+5t+8t^2 \text{en} t=2sg}$$

En este caso en lugar de f tenemos s y en lugar de la variable independiente x tenemos t. Para hallar la T.V.I. usarmeos la formula $T.V.I.\left(a\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{s\left(a+h\right)-s\left(a\right)}{h}$, con lo que nos quedaría:

$$\begin{gathered} s\left(a\right)=s\left(2\right)=3+5·2+8·2^2=45 \\ s\left(a+h\right)=s\left(2+h\right)=3+5\left(2+h\right)+8{\left(2+h\right)}^2= \\ 3+10+5h+8\left(2^2+h^2+2·2·h\right)= \\ 3+10+5h+32+8h^2+32h=8h^2+37h+45 \end{gathered}$$

$$T.V.I.\left(2\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{8h^2+37h+\cancel{45}-\cancel{45}}{h}=\raisebox{1ex}{$0$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$0$}\right. \text{IND.}$$

Sacamos factor común de h en el numerador:

$$T.V.I.\left(2\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\cancel{h}\left(8h+37\right)}{\cancel{h}}=37$$

Ahora es el momento de dar una interpretación física a la ecuación anterior... Normalmente, al espacio recorrido por un cuerpo en movimiento, en un tiempo t se le puede denotar s. En física vemos que la velocidad del cuerpo en un instante dado es la tasa de variación instantánea del espacio recorrido en ese instante. Por tanto, la velocidad de un cuerpo en movimiento según la ecuación de s(t), en el instante 2 segundos sería 37 m/s (asumiendo que las unidades de s son metros).

8.$$\boxed{v\left(t\right)=5+16t \text{en} t=1sg}$$

Resolvemos este enunciado tal como lo hicimos con el ejemplo anterior, con la formula $T.V.I.\left(a\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{s\left(a+h\right)-s\left(a\right)}{h}$, y nos queda:

$$\begin{gathered} v\left(a\right)=v\left(1\right)=5+16·1=21 \\ v\left(a+h\right)=v\left(1+h\right)=5+16\left(1+h\right)=16h+21 \end{gathered}$$

$$T.V.I.\left(1\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{16h+\cancel{21}-\cancel{21}}{h}=16$$

En este caso, la interpretación física de la ecuación anterior correspondería a la velocidad de un cuerpo en movimiento (de hecho, se trataría del mismo cuerpo cuyo movimiento está descripto en el apartado anterior). Así, la tasa de variación instantánea de la velocidad en el instante considerado, que es 16 sería la aceleración, y asumiendo unidades del sistema internacional estaríamos hablando de 16m/s².