Derivabilidad según parámetro

Consideraciones previas

Para que una función sea derivable en un punto hemos de garantizar la continuidad y que el valor de las derivadas laterales en el punto coincide.

En una función a trozos normalmente los puntos problemáticos son los cambios de rama. Por tanto, si igualamos los limites laterales en ellos para que la función sea continua en todo su dominio, e igualamos las derivadas laterales para que la función sea derivable en todo su dominio, resultará un sistema de ecuaciones en que nos será sencillo hayar el valor de los parámetros a y b.

Resolución

1.-

$$\boxed{f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}a{x}^2+2x+6& \text{si}& x<2\\ x^3+bx+2& \text{si}& x\ge 2\end{array}\right.}$$

Al ser ambas ramas polinomios, el único punto problemático para la derivabilidad es el cambio de rama x=2. Primero estudiamos la continuidad de la función en él:

$$\left.\begin{array}{r}\underset{x\to 2^{-}}{\lim }a{x}^2+2x+6=4a+10\\ \underset{x\to 2^{+}}{\lim }{x}^3+bx+2=8+2b+2\end{array}\right\}$$

Para que la función sea continua los limites por la izquierda y por la derecha, tienen que coincidir:

$$4a+10=2b+10$$

Hemos llegado a una igualdad con la que seguiremos un poco más adelante, ahora estudiaremos las derivadas laterales:

$$\left.\begin{array}{r}f\text{'}\left(2^{-}\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }D\left(a{x}^2+2x+6\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }2ax+2=4a+2\\ f\text{'}\left(2^{+}\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }D\left(x^3+bx+2\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }3x^2+b=12+b\end{array}\right\}$$

Para que la función sea derivable, las derivadas laterales tienen que coincidir:

$$4a+2=12+b$$

Con esto, y con la igualdad anterior podemos formar un sistema de ecuaciones para conocer los valores de a y de b:

$$\left.\begin{array}{r}4a+10=2b+10\\ 4a+2=12+b\end{array}\right\}$$

Resolveremos por el método de sustitución:

$$\begin{gathered} \left.\begin{array}{r}4a+10=2b+10\\ 4a+2=12+b\end{array}\right\} \\ b=4a-10\Rightarrow b=10 \\ 4a+\cancel{10}=2\left(4a-10\right)+\cancel{10}\Rightarrow 4a=8a-20\Rightarrow 4a=20\Rightarrow a=5 \end{gathered}$$

Con lo que nos queda que a debe valer 5 y b 10 para que la función sea derivable.

2.-

$$\boxed{f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}{x}^2-ax+b+1& \text{si}& x\le 1\\ a\ln \left(x\right)+1& \text{si}& x>1\end{array}\right.}$$

Ninguna de las dos ramas presenta problemas de derivabilidad en los valores de x en que está definida (el ln(x) es continua y derivable para x>0). Por tanto, comenzamos comprobando continuidad en el punto problemático x=1:

$$\left.\begin{array}{r}\underset{x\to 1^{-}}{\lim }{x}^2-ax+b+1=1-a+b+1\\ \underset{x\to 1^{+}}{\lim }a\ln \left(x\right)+1=1\end{array}\right\}$$

Igualamos los limites laterales y queda que:

$$1-a+b+1=1$$

Hacemos lo mismo con las derivadas laterales:

$$\left.\begin{array}{r}f\text{'}\left(1^{-}\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }D\left(x^2-ax+b+1\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }2x-a=2-a\\ f\text{'}\left(1^{+}\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }D\left(a\ln \left(x\right)+1\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{a}{x}=a\end{array}\right\}$$

...y nos queda que:

$$2-a=a\Rightarrow a=1$$

Ya tenemos el valor de a, que es 1; ahora sustituimos y nos queda:

$$1-1+b+1=1\Rightarrow b=0$$

Con lo que a vale 1 y b vale 0 s queremos que sea derivable.

3.-

$$\boxed{f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}\left(x+1\right)\log \left(x+1\right)& \text{si}& -1<x\le 0\\ a\left(1-e^{-\left(x+1\right)}\right)& \text{si}& x>0\end{array}\right.}$$

De nuevo, ambas ramas son derivarles en el rango de valores en que están definidas (observa que x+1>0 en (-1,0]. Comprobamos la continuidad de la función en el cambio de rama x=0:

$$\left.\begin{array}{r}\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(x+1\right)\log \left(x+1\right)=0\\ \underset{x\to 0^{+}}{\lim }a\left(1-e^{-\left(x+1\right)}\right)=a\left(1-e^{-1}\right)=a\left(1-\frac{1}{e}\right)\end{array}\right\}$$

...y nos queda:

$$a\left(1-\frac{1}{e}\right)=0\iff a=0$$

Después observamos las derivadas laterales:

$$\left.\begin{array}{r}f\text{'}\left(0^{-}\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }D\left(\left(x+1\right)\log \left(x+1\right)\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\ln \left(x+1\right)+1=1\\ f\text{'}\left(0^{+}\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }D\left(a\left(1-e^{-\left(x+1\right)}\right)\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }a{e}^{-x-1}=a{e}^{-1}=\frac{a}{e}\end{array}\right\}$$

Y obtenemos:

$$\frac{a}{e}=1\iff a=e$$

Como hemos obtenido valores de a diferentes para cada condición (continuidad y derivadas laterales) podemos decir que la función no es derivable para ningun valor de a.