Enunciado

dificultad

Determina, si es posible, el valor de los parámetros para que las siguientes funciones sean derivarles en todo su dominio:

  1. fx=ax2+2x+6six<2x3+bx+2six2
  2. fx=x2-ax+b+1six1alnx+1six>1
  3. fx=x+1logx+1si-1<x0a1-e-x+1six>0

Solución

Consideraciones previas

Para que una función sea derivable en un punto hemos de garantizar la continuidad y que el valor de las derivadas laterales en el punto coincide.

En una función a trozos normalmente los puntos problemáticos son los cambios de rama. Por tanto, si igualamos los limites laterales en ellos para que la función sea continua en todo su dominio, e igualamos las derivadas laterales para que la función sea derivable en todo su dominio, resultará un sistema de ecuaciones en que nos será sencillo hayar el valor de los parámetros a y b.

Resolución

1.-

fx=ax2+2x+6six<2x3+bx+2six2

Al ser ambas ramas polinomios, el único punto problemático para la derivabilidad es el cambio de rama x=2. Primero estudiamos la continuidad de la función en él:

limx2-ax2+2x+6=4a+10limx2+x3+bx+2=8+2b+2

Para que la función sea continua los limites por la izquierda y por la derecha, tienen que coincidir:

4a+10=2b+10

Hemos llegado a una igualdad con la que seguiremos un poco más adelante, ahora estudiaremos las derivadas laterales:

f'2-=limx2-Dax2+2x+6=limx2-2ax+2=4a+2f'2+=limx2+Dx3+bx+2=limx2+3x2+b=12+b

Para que la función sea derivable, las derivadas laterales tienen que coincidir:

4a+2=12+b

Con esto, y con la igualdad anterior podemos formar un sistema de ecuaciones para conocer los valores de a y de b:

4a+10=2b+104a+2=12+b

Resolveremos por el método de sustitución:

4a+10=2b+104a+2=12+bb=4a-10b=104a+10=24a-10+104a=8a-204a=20a=5

Con lo que nos queda que a debe valer 5 y b 10 para que la función sea derivable.

2.-

fx=x2-ax+b+1six1alnx+1six>1

Ninguna de las dos ramas presenta problemas de derivabilidad en los valores de x en que está definida (el ln(x) es continua y derivable para x>0). Por tanto, comenzamos comprobando continuidad en el punto problemático x=1:

limx1-x2-ax+b+1=1-a+b+1limx1+alnx+1=1

Igualamos los limites laterales y queda que:

1-a+b+1=1

Hacemos lo mismo con las derivadas laterales:

f'1-=limx1-Dx2-ax+b+1=limx1-2x-a=2-af'1+=limx1+Dalnx+1=limx1+ax=a

...y nos queda que:

2-a=aa=1

Ya tenemos el valor de a, que es 1; ahora sustituimos y nos queda:

1-1+b+1=1b=0

Con lo que a vale 1 y b vale 0 s queremos que sea derivable.

3.-

fx=x+1logx+1si-1<x0a1-e-x+1six>0

De nuevo, ambas ramas son derivarles en el rango de valores en que están definidas (observa que x+1>0 en (-1,0]. Comprobamos la continuidad de la función en el cambio de rama x=0:

limx0-x+1logx+1=0limx0+a1-e-x+1=a1-e-1=a1-1e

...y nos queda:

a1-1e=0a=0

Después observamos las derivadas laterales:

f'0-=limx0-Dx+1logx+1=limx0-lnx+1+1=1f'0+=limx0+Da1-e-x+1=limx0+ae-x-1=ae-1=ae

Y obtenemos:

ae=1a=e

Como hemos obtenido valores de a diferentes para cada condición (continuidad y derivadas laterales) podemos decir que la función no es derivable para ningun valor de a.

Ficha de fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

Fórmulas
Apartados relacionados
fx=logaxf'x=1xlogae
f'a+=limh0+fa+h-fah
fx=axf'x=ax·lna
fx=Expr1siSubconjunto1Expr2siSubconjunto2ExprnsiSubconjunton
fx=kf'x=0
Df+g=f'+g' ;Df-g=f'-g'
f'a=Llimxa-f'x=Llimxa+f'x=Lf'a=limxaf'x=L
fx=xnf'x=n·xn-1 n
fa=limxafx
gx=k·fxg'x=k·f'x
f'a-=limh0-fa+h-fah