Parámetro de función a partir de condiciones en recta tangente

Consideraciones previas

Ya sabes que la ecuación de la recta tangente a una función en un punto (a, f(a)) viene dada por la expresión:

$$y-f\left(a\right)=f\text{'}\left(a\right)·\left(x-a\right)$$

Por ello, la pendiente de la recta tangente es precisamente el valor de la derivada en x=a, es decir, f'(a).

Resolución

1.

$$\boxed{f\left(x\right)=m{x}^2-4x+12}$$

Para calcular el parámetro m, comenzamos calculando el valor de la derivada en x=1:

$$f\left(x\right)=m{x}^2-4x+12\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=2mx-4\Rightarrow f\text{'}\left(1\right)=2m-4$$

Ahora, sabemos que el valor de la pendiente de la tangente, es decir, de la derivada, es 8 en x=1, con lo que:

$$2m-4=8\Rightarrow 2m=12\Rightarrow m=\frac{12}{2}=6$$

Así pues, la función sería $f\left(x\right)=6x^2-4x+12$

2.

$$\boxed{f\left(x\right)=x^2+bx+c}$$

En primer lugar, sabemos que la curva pasa por el punto (2,12), esto quiere decir que cuando x=2, y=12, o dicho de otra manera, que f(2)=12. Planteando esa igualdad obtenemos:

$$f\left(2\right)=4+2b+c\Rightarrow 4+2b+c=12$$

Por otro lado, la pendiente de la recta tangente, es decir, la derivada, en x=-1 vale 1, con lo que:

$$f\text{'}\left(x\right)=2x+b\Rightarrow f\text{'}\left(-1\right)=-2+b\Rightarrow -2+b=1$$

Como puedes ver, de cada condición hemos obtenido una ecuación. Resolviendo el sistema nos queda:

$$\begin{array}{c}-2+b=1\\ 4+2b+c=12\end{array}\Rightarrow \begin{array}{c}\boxed{b=3}\\ 2·3+c=12-4\end{array}\Rightarrow \boxed{c=2}$$

Siendo la función buscada $f\left(x\right)=x^2+3x+2$.

3.

$$\boxed{f\left(x\right)=a{x}^4+b{x}^2-1}$$

Observa que, aunque parezca una sola condición, en realidad son 2, al igual que antes. Nos dicen el punto en el que el valor de la recta tangente es 0 (es paralela al eje x, siendo este (1/2, -3/2). Esto quiere decir que f(1/2)=-3/2:

$$f\left(1/2\right)=\frac{a}{16}+\frac{b}{4}-1\Rightarrow \frac{a}{16}+\frac{b}{4}-1=\frac{-3}{2}$$

Por otro lado, calculamos la derivada y la igualamos a 0 (como dijimos, las rectas paralelas al eje de abscisas tienen pendiente 0):

$$f\text{'}\left(x\right)=4a{x}^3+2bx\Rightarrow f\text{'}\left(1/2\right)=\frac{4a}{8}+\frac{2b}{2}\Rightarrow \frac{a}{2}+b=0$$

Resolviendo el sistema obtenemos los valores de los parámetros a y b:

$$\begin{array}{c}\frac{a}{2}+b=0\\ \frac{a}{16}+\frac{b}{4}-1=\frac{-3}{2}\end{array}\Rightarrow \begin{array}{c}a=-2b\\ \frac{-2b}{16}+\frac{b}{4}=-\frac{1}{2}\end{array}\Rightarrow \begin{array}{c}a=-2b\\ -2b+4b=-8\end{array}\Rightarrow \begin{array}{c}a=-2b\\ \boxed{b=-4}\end{array}\Rightarrow \boxed{a=8}$$

Por tanto, la función buscada es $f\left(x\right)=8x^4-4x^2-1$.