Cálculo de rectas tangentes en punto de intersección de funciones

Consideraciones previas

A estas alturas ya sabes de sobra que la ecuación de la recta tangente a una función en un punto (a, f(a)) viene dada por la expresión:

$$y-f\left(a\right)=f\text{'}\left(a\right)·\left(x-a\right)$$

En primer lugar determinaremos el punto de intersección de ambas funciones, f(x) y g(x), y ese será el x=a en el que buscar las ecuaciones de las tangentes.

Resolución

Igualando las funciones, y despejando x obtenemos la abscisa del punto en el que debemos hayar las ecuaciones de las rectas tangentes (sería el valor de a, según la nomenclatura utilizada).

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=g\left(x\right)\Rightarrow \frac{2x+2}{3-x}=2x^2-x-3\Rightarrow 2x+2=\left(3-x\right)\left(2x^2-x-3\right)\Rightarrow \\ \Rightarrow 2x+2=6x^2-3x-9-2x^3+x^2+3x\Rightarrow 2x^3-7x^2+2x+11=0 \end{gathered}$$

Buscamos las raíces del polinomio mediante Ruffini, probando con valores que sean divisores de 11. Empezamos con -1:

$$\begin{array}{ccccc}& 2& -7& 2& 11\\ -1& & -2& 9& -11\\ & 2& -9& 11& 0\end{array}$$

Por tanto, x=-1 es un punto de corte de ambas funciones. Comprobemos si hay más:

$$\begin{gathered} 2x^3-7x^2+2x+11=0\Rightarrow \left(x+1\right)\left(2x^2-9x+11\right)=0\Rightarrow 2x^2-9x+11=0\Rightarrow \\ \Rightarrow x=\frac{9\pm \sqrt{9^2-4·2·11}}{2·2}\nexists \end{gathered}$$

Como puedes ver, no hay más al ser la raíz negativa. Por tanto ya sabemos el a buscado. Vamos ahora a calcular la recta tangente a f(x) en x=-1. Empezamos calculando la derivada:

$$f\left(x\right)=\frac{2x+2}{3-x}\underset{\left(\frac{u}{v}\right)\text{'}=\frac{u\text{'}v-uv\text{'}}{v^2}}{\Rightarrow }f\text{'}\left(x\right)=\frac{2\left(3-x\right)+2x+2}{{\left(3-x\right)}^2}=\frac{8}{{\left(3-x\right)}^2}$$

Siendo a=-1, f(-1)=0, f'(-1)=0.5, nos queda como recta tangente a f en el punto pedido:

$$y=0.5\left(x+1\right)$$

Repitiendo el proceso para g(x):

$$g\left(x\right)=2x^2-x-3\Rightarrow g\text{'}\left(x\right)=4x-1$$

En esta ocasión a=-1, g(-1)=0, g'(-1)=-5, con lo que nos queda como recta tangente a g en el punto pedido:

$$y=-5\left(x+1\right)$$