Punto de recta tangente perpendicular a la tangente en otro punto

Consideraciones previas

La expresión de la recta tangente a una función f(x) en el punto x=a viene dada, como vimos en teoría, por:

$$y-f\left(a\right)=f\text{'}\left(a\right)·\left(x-a\right)$$

Por tanto es el valor de la derivada en el punto considerado f'(a).

Por otro lado, se cumple que dos rectas son perpendiculares cuando la pendiente de la primera es igual a la inversa de la pendiente de la segunda, cambiada de signo.

$$m_r=-\frac{1}{m_s}$$

Resolución

Comenzamos calculando f'(3), que será la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto considerado:

$$f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{6x-4}·6\Rightarrow f\text{'}\left(3\right)=\frac{6}{6·3-4}=\frac{6}{14}=\frac{3}{7}$$

Una recta perpendicular a la anterior tendrá por pendiente:

$$m_{\text{perp}}=\frac{-1}{m}=\frac{-1}{{\displaystyle \frac{3}{7}}}=-\frac{7}{3}$$

Busquemos el punto en el que la derivada vale -7/3:

$$\frac{6}{6x-4}=-\frac{7}{3}\Rightarrow 6·3=-7·\left(6x-4\right)\Rightarrow 18=-42x+28\Rightarrow x=-\frac{10}{42}=-\frac{5}{21}$$

Ahora, mucho cuidado. Observa que x=-5/21 no se encuentra en el dominio de la función logarítmica, ya que:

$$f\left(\frac{-5}{21}\right)=\ln \left(6\left(\frac{-5}{21}\right)-4\right)\Rightarrow \nexists \ln \left(\text{número negativo}\right)$$

Con lo que no existe ningún punto que cumpla la condición.