Número de rectas tangentes que contienen un punto

Consideraciones previas

Debes tener muy claro que la ecuación de la recta tangente a una función en el punto x=a viene dada por:

$$y-f\left(a\right)=f\text{'}\left(a\right)\left(x-a\right)$$

Resolución

La resolución de este ejercicio es bastante sencilla cuando se tienen los conceptos muy claros. Si las rectas tangentes deben contener al punto (0,2), entonces cuando x=0 en la ecuación de dicha recta, el valor correspondiente de la y de la recta será 2. Dicho de otro modo, en la ecuación anterior se deberá cumplir que:

$$2-f\left(a\right)=f\text{'}\left(a\right)\left(0-a\right)$$

Observa que no conocemos el valor de a, que es la abscisa en la que la función f tiene por tangente la recta buscada. El número de soluciones de la ecuación anterior me dará el número de rectas que cumplen la condición impuesta:

$$\begin{gathered} 2-f\left(a\right)=f\text{'}\left(a\right)\left(0-a\right)\Rightarrow 2-\left(a^3-4a+1\right)=\left(3a^2-4\right)\left(0-a\right)\Rightarrow \\ \Rightarrow 2-a^3+4a-1=-3a^3+4a\Rightarrow 2a^3+1=0\Rightarrow a=\sqrt[3]{\frac{-1}{2}} \end{gathered}$$

Por lo que solo existe una recta tangente a la función que contenga al punto (0,2), y es la recta que toca a la función en el punto $\left(\sqrt[3]{\frac{-1}{2}},f\left(\sqrt[3]{\frac{-1}{2}}\right)\right)=\left(\sqrt[3]{\frac{-1}{2}},-1/2-4\sqrt[3]{\frac{-1}{2}}+1\right)=\left(\sqrt[3]{\frac{-1}{2}},4\sqrt[3]{\frac{-1}{2}}+\frac{1}{2}\right)$ y tiene por ecuación:

$$y-\left(4\sqrt[3]{\frac{-1}{2}}+\frac{1}{2}\right)=\left(3{\left(\sqrt[3]{\frac{-1}{2}}\right)}^2-4\right)\left(x-\sqrt[3]{\frac{-1}{2}}\right)$$

Como ves, sencillo y elegante ;-)