Enunciado

dificultad
Dificultad alta para los ejercicios de nivel experto

Determina el número de rectas tangentes a la función fx=x3-4x+1 que contienen al punto (0,2).

Solución

Consideraciones previas

Debes tener muy claro que la ecuación de la recta tangente a una función en el punto x=a viene dada por:

y-fa=f'ax-a

Resolución

La resolución de este ejercicio es bastante sencilla cuando se tienen los conceptos muy claros. Si las rectas tangentes deben contener al punto (0,2), entonces cuando x=0 en la ecuación de dicha recta, el valor correspondiente de la y de la recta será 2. Dicho de otro modo, en la ecuación anterior se deberá cumplir que:

2-fa=f'a0-a

Observa que no conocemos el valor de a, que es la abscisa en la que la función f tiene por tangente la recta buscada. El número de soluciones de la ecuación anterior me dará el número de rectas que cumplen la condición impuesta:

2-fa=f'a0-a2-a3-4a+1=3a2-40-a2-a3+4a-1=-3a3+4a2a3+1=0a=-123

Por lo que solo existe una recta tangente a la función que contenga al punto (0,2), y es la recta que toca a la función en el punto -123,f-123=-123,-1/2-4-123+1=-123,4-123+12 y tiene por ecuación:

y-4-123+12=3-1232-4x--123

Como ves, sencillo y elegante ;-)

Autor artículo
Sobre el autor
José Luis Fernández Yagües es ingeniero de telecomunicaciones, profesor experimentado y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo a ayudar a la gente a comprender la física, las matemáticas y el desarrollo web. Ama el queso y el sonido del mar.

Fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

Fórmulas
Apartados relacionados
Df+g=f'+g' ;Df-g=f'-g'
fx=xnf'x=n·xn-1 n

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