Enunciado

dificultad
Dificultad intermedia para los ejercicios de nivel avanzado

Determina la derivada de las funciones trigonométricas inversas en el punto x=1/2 usando las propiedades de la derivada de la función inversa. Recuerda que las funciones trigonométricas inversas son el arccos(x), el arcsin(x) y la arctan(x).

Solución

Consideraciones previas

Por un lado, una cuestión de notación. Recuerda que las funciones arccos(x), el arcsin(x) y la arctan(x) se denotan en ocasiones:

arcsinx=sin-1xarccosx=cos-1xarctanx=tan-1x

Aunque dicha notación puede llevar a confusión con, por ejemplo sin-1x=1sinx, en este último caso nos referimos al inverso multiplicativo. En caso de ambigüedad llamaremos a estas últimas funciones trigonométricas recíprocas.

Por otro lado, ya hemos visto en las reglas de derivación que:

  • fx=arcsinxf'x=11-x2
  • fx=arccosxf'x=-11-x2
  • fx=arctanxf'x=11+x2

En este apartado, se nos pide sin embargo, que hagamos uso de la derivada de la función inversa para llegar al resultado. Esto es:

f-1'=1f'f-1

Resolución

Comenzamos con arcsin(x). Sabemos que es la función inversa de f(x)=sin(x), es decir, f-1(x)=arcsin(x). También sabemos que:

sinx'=cosx

Con lo que:

f'f-1x=cosarcsinx

Y podemos escribir:

f-1'x=1f'f-1x=1cosarcsinx

En el caso de que x=1/2 observa que obtenemos el mismo valor si usamos la derivada directamente o la expresión anterior:

f-1'12=1cosarcsin12=11-122=1.1547

Repetimos el proceso para arccos(x). En esta ocasión f(x)=cos(x), f-1(x)=arccos(x). Sabemos que:

cosx'=-sinx

Con lo que:

f'f-1x=-sinarccosx

Y resultando en esta ocasión:

f-1'x=1-sinarccosx

En el punto de abscisa x=1/2 nos queda:

f-1'12=1-sinarccos12=-11-122=-1.1547

Por último, para el caso de la arctan(x), tenemos que f(x)=tan(x), siendo la inversa f-1(x)=arctan(x). La derivada de la función tangente, si no la recuerdas directamente puedes obtenerla a partir de las del seno y la del coseno aplicando la derivada del cociente:

tanx'=sinxcosx'=uv'=u'v-uv'v21cos2x

Con lo que:

f'f-1x=1cos2arctanx

Con lo que la derivada del arco tangente nos queda:

f-1'x=11cos2arctanx=cos2arctanx

En el punto x=1/2 tenemos:

f-1'12=cos2arctan12=11+122=0.8

Autor artículo
Sobre el autor
José Luis Fernández Yagües es ingeniero de telecomunicaciones, profesor experimentado y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo a ayudar a la gente a comprender la física, las matemáticas y el desarrollo web. Ama el queso y el sonido del mar.

Fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.


Y ahora... consulta más ejercicios relacionados o la teoría asociada si te quedaron dudas.

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