Derivada de las funciones trigonométricas inversas

Consideraciones previas

Por un lado, una cuestión de notación. Recuerda que las funciones arccos(x), el arcsin(x) y la arctan(x) se denotan en ocasiones:

$$\begin{gathered} \arcsin \left(x\right)={\sin }^{-1}\left(x\right) \\ \arccos \left(x\right)={\cos }^{-1}\left(x\right) \\ \arctan \left(x\right)={\tan }^{-1}\left(x\right) \end{gathered}$$

Aunque dicha notación puede llevar a confusión con, por ejemplo ${\sin }^{-1}\left(x\right)=\frac{1}{\sin \left(x\right)}$, en este último caso nos referimos al inverso multiplicativo. En caso de ambigüedad llamaremos a estas últimas funciones trigonométricas recíprocas.

Por otro lado, ya hemos visto en las reglas de derivación que:

• $f\left(x\right)=\arcsin \left(x\right)\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
• $f\left(x\right)=\arccos \left(x\right)\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$
• $f\left(x\right)=\arctan \left(x\right)\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{1+x^2}$

En este apartado, se nos pide sin embargo, que hagamos uso de la derivada de la función inversa para llegar al resultado. Esto es:

$$\left(f^{-1}\right)\text{'}=\frac{1}{f\text{'}\left[f^{-1}\right]}$$

Resolución

Comenzamos con arcsin(x). Sabemos que es la función inversa de f(x)=sin(x), es decir, f^-1(x)=arcsin(x). También sabemos que:

$$\left(\sin \left(x\right)\right)\text{'}=\cos \left(x\right)$$

Con lo que:

$$f\text{'}\left(f^{-1}\left(x\right)\right)=\cos \left(\arcsin \left(x\right)\right)$$

Y podemos escribir:

$$\left(f^{-1}\right)\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{f\text{'}\left(f^{-1}\left(x\right)\right)}=\frac{1}{\cos \left(\arcsin \left(x\right)\right)}$$

En el caso de que x=1/2 observa que obtenemos el mismo valor si usamos la derivada directamente o la expresión anterior:

$$\left(f^{-1}\right)\text{'}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{\cos \left(\arcsin \left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\right)}=\frac{1}{\sqrt{1-{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2}}=1.1547$$

Repetimos el proceso para arccos(x). En esta ocasión f(x)=cos(x), f^-1(x)=arccos(x). Sabemos que:

$$\left(\cos \left(x\right)\right)\text{'}=-\sin \left(x\right)$$

Con lo que:

$$f\text{'}\left(f^{-1}\left(x\right)\right)=-\sin \left(\arccos \left(x\right)\right)$$

Y resultando en esta ocasión:

$$\left(f^{-1}\right)\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{-\sin \left(\arccos \left(x\right)\right)}$$

En el punto de abscisa x=1/2 nos queda:

$$\left(f^{-1}\right)\text{'}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{-\sin \left(\arccos \left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\right)}=\frac{-1}{\sqrt{1-{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2}}=-1.1547$$

Por último, para el caso de la arctan(x), tenemos que f(x)=tan(x), siendo la inversa f^-1(x)=arctan(x). La derivada de la función tangente, si no la recuerdas directamente puedes obtenerla a partir de las del seno y la del coseno aplicando la derivada del cociente:

$$\left(\tan \left(x\right)\right)\text{'}={\left(\frac{\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)}\right)}^{\text{'}}\underset{{\left(\frac{u}{v}\right)}^{\text{'}}=\frac{u\text{'}v-uv\text{'}}{v^2}}{=}\frac{1}{{\cos }^2\left(x\right)}$$

Con lo que:

$$f\text{'}\left(f^{-1}\left(x\right)\right)=\frac{1}{{\cos }^2\left(\arctan \left(x\right)\right)}$$

Con lo que la derivada del arco tangente nos queda:

$$\left(f^{-1}\right)\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{\frac{1}{{\cos }^2\left(\arctan \left(x\right)\right)}}={\cos }^2\left(\arctan \left(x\right)\right)$$

En el punto x=1/2 tenemos:

$$\left(f^{-1}\right)\text{'}\left(\frac{1}{2}\right)={\cos }^2\left(\arctan \left(\frac{1}{2}\right)\right)=\frac{1}{1+{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2}=0.8$$