Enunciado

dificultad

Determina el momento del vector V=i  respecto al origen, sabiendo que su punto de aplicación está en P(0,1,0).¿Qué relación guarda el momento calculado con el del vector V2=i+j ?¿Y con el del vector V3=i-3·j ?¿Sabrías explicar por qué?


Solución

Datos

  • Punto de aplicación del vector:P(0,1,0)r=j 
  • Primer vector V=i 
  • Segundo vector V2=i+j
  • Tercer vector V3=i-3·j 

Resolución

Podemos calcular el momento del vector pedido simplemente aplicando un determinante de 3x3 para el cálculo del producto vectorial, tal y como se hace en este otro ejercicio. Sin embargo, dado que el vector V  y su vector de posición r  son unitarios y en la dirección de alguno de los ejes cartesianos, podemos, simplemente, aplicar las propiedades que conocemos del producto vectorial. De esta manera,

  • El módulo el vector resultante M0=r·V·sinα . Sabemos que i  y j  forman 90º entre sí, por lo que M0=r·V·sinα=1·1·1=1 
  • La dirección es perpendicular al plano formado por i  y j , esto es, la dirección del eje z
  • Sentido establecido por la regla de la mano derecha. En este caso, dirección -k 

Por tanto, Mo=-k .

En relación al segundo y al tercer vector, ambos añaden una componente en el sentido de j . De acuerdo al teorema de Varignon, para calcular el nuevo momento, podemos sumar al ya calculado el momento de la nueva componente del vector. El momento de esta nueva componente respecto al punto considerado es 0, pues tiene igual dirección que r , y por tanto α = 0. En resumen: el momento de los nuevos vectores es el mismo que el del vector original pues sus nuevas componentes son de igual dirección que i  .

Si deseas asegurarte, puedes aplicar la expresión completa del determinante 3x3 y hacer tú mismo la comprobación.

Ficha de fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

Fórmulas
Apartados relacionados
Mo=r×V
a×b=a·b·sinαh=a·h=Área del paralelogramo