Enunciado

dificultad

Dados los vectores a⃗ =-2·i⃗ +2·j⃗ y b⃗ (5,-1), determina el área del paralelogramo que forman y el ángulo que los separa.


Solución

Datos

  • a= -2·i + 2·j=-2 , 2
  • b= 5·i - j=5 , -1

Resolución

Comenzamos calculando el producto vectorial, a partir de un determinante de 3 x 3, teniendo en cuenta que las componentes en el eje z son 0:

a×b=ijk-2205-10=2·k-10·k=-8·k

El vector resultante ( lo llamaremos c⃗ ), sólo tiene componente en el eje z, por lo que su módulo será la longitud de dicha componente a×b=8. No obstante, si lo prefieres puedes aplicar la definición del módulo de un vector:

c=a×b=cx2+cy2+cz2=-82=8

En cualquiera de los casos, el módulo del producto vectorial, que es igual numéricamente al área del paralelogramo formado por ambos vectores, es A = 8 unidades cuadradas.

En cuanto al ángulo que forman ambos vectores, aplicamos la definición del módulo del producto vectorial:

a×b=a·b·sinαsinα=a×ba·b

Determinemos los módulos de los vectores:

a=ax2+ay2+az2=-22+22=8b=bx2+by2+bz2=52+-12=26

Ya podemos despejar α:

a×b=a·b·sinαsinα=a×ba·b=88·26=0.55α=sin-10.55=0.58 rad=33.69º

Ficha de fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

Fórmulas
Apartados relacionados
a×b=a·b·sinαh=a·h=Área del paralelogramo
a×b=a·b·sinα
a×b=ijkaxayazbxbybz=ay·bz-by·az·i+az·bx-bz·ax·j+ax·by-bx·ay·k