Producto vectorial para ángulo y para área del paralelogramo

Datos

• $\begin{array}{c}\overrightarrow{a}= -2·\overrightarrow{i} + 2·\overrightarrow{j}\end{array}=\left(-2 , 2\right)$
• $\begin{array}{c}\overrightarrow{b}= 5·\overrightarrow{i} - \overrightarrow{j}\end{array}=\left(5 , -1\right)$

Resolución

Comenzamos calculando el producto vectorial, a partir de un determinante de 3 x 3, teniendo en cuenta que las componentes en el eje z son 0:

$$a\times b=\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ -2& 2& 0\\ 5& -1& 0\end{array}\right|=2·\overrightarrow{k}-10·\overrightarrow{k}=-8·\overrightarrow{k}$$

El vector resultante ( lo llamaremos c⃗ ), sólo tiene componente en el eje z, por lo que su módulo será la longitud de dicha componente $\left|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right|=8$. No obstante, si lo prefieres puedes aplicar la definición del módulo de un vector:

$$c=\left|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right|=\sqrt{{c_x}^2+{c_y}^2+{c_z}^2}=\sqrt{{\left(-8\right)}^2}=8$$

En cualquiera de los casos, el módulo del producto vectorial, que es igual numéricamente al área del paralelogramo formado por ambos vectores, es A = 8 unidades cuadradas.

En cuanto al ángulo que forman ambos vectores, aplicamos la definición del módulo del producto vectorial:

$$\left|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{a}\right|·\left|\overrightarrow{b}\right|·\sin \left(\alpha \right)\Rightarrow \sin \left(\alpha \right)=\frac{\left|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right|}{\left|\overrightarrow{a}\right|·\left|\overrightarrow{b}\right|}$$

Determinemos los módulos de los vectores:

$$\begin{gathered} a=\sqrt{{a_x}^2+{a_y}^2+{a_z}^2}=\sqrt{{\left(-2\right)}^2+{\left(2\right)}^2}=\sqrt{8} \\ b=\sqrt{{b_x}^2+{b_y}^2+{b_z}^2}=\sqrt{{\left(5\right)}^2+{\left(-1\right)}^2}=\sqrt{26} \end{gathered}$$

Ya podemos despejar α:

$$\begin{gathered} \left|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{a}\right|·\left|\overrightarrow{b}\right|·\sin \left(\alpha \right)\Rightarrow \sin \left(\alpha \right)=\frac{\left|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right|}{\left|\overrightarrow{a}\right|·\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{8}{\sqrt{8}·\sqrt{26}}=0.55\Rightarrow \\ \Rightarrow \alpha ={\sin }^{-1}\left(0.55\right)=0.58 \text{rad}\hspace{0.17em}=33.69º \end{gathered}$$