Enunciado

dificultad

Representa gr谩ficamente las siguientes funciones y obt茅n su expresi贸n anal铆tica en forma de funci贸n a trozos:

  1. fx=3x2-1
  2. fx=x2+2x-2
  3. fx=-x2-2x+2
  4. fx=ex-1
  5. fx=lnx

Soluci贸n

Consideraciones previas

Para representar gr谩ficamente las funciones dadas, todas ellas con valor absoluto, comenzaremos por la representaci贸n de las mismas sin el valor absoluto. Posteriormente hayamos los puntos de corte de la funci贸n con el eje x (puntos que hacen y=0), y reflejamos sobre el eje x todo lo que quede en la parte negativa del eje y.

Para convertirlas en funciones a trozos debemos utilizar los puntos de corte con el eje x, pues son los puntos en los que la funci贸n puede cambiar de signo. Estos puntos determinan intervalos en los que el signo de la funci贸n permanece constante y son los puntos de cambio de rama en la funci贸n definida a trozos equivalente. Aquellos intervalos de signo negativo deben ser "reflejados" anal铆ticamente, es decir, en ellos la funci贸n se multiplica por -. El estudio del signo se cede hacer bien con una tabla, como en este ejercicio, o bien estudiando la gr谩fica, como haremos aqu铆.

Resoluci贸n

fx=3x2-1

Si prescindimos del valor absoluto, tal como hemos indicado, se trata de la ecuaci贸n de una recta en la forma f(x)=y=ax+b. Dando dos valores cualesquiera a la variable independiente x podemos obtener los valores de y correspondientes. Usando una tabla de valores:

y=3x2-1xy03·02-1=-123·22-1=2

Ahora ya estamos en disposici贸n de representar la funci贸n sin valor absoluto:

funci贸n lineal

Aunque nos bastar铆a reflejar la parte negativa de la funci贸n para obtener la representaci贸n de la funci贸n original en valor absoluto, buscaremos de manera anal铆tica los puntos de corte a fin de se帽alarlos en el eje x en la representaci贸n final.

0=3x2-1x=23

Con lo que la gr谩fica final pedida nos queda:

funci贸n lineal en valor absoluto

La funci贸n a trozos nos queda:

fx=-3x2+1six<233x2-1six23

Ten presente que el signo igual puede ir en cualquiera de las ramas.

fx=x2+2x-2

En este caso nos encontramos ante una par谩bola en la forma y=a路x2+b路x+c afectada por el valor absoluto. Dado que a>0, las ramas de la par谩bola est谩n hacia arriba, el v茅rtice se encuentra en:

xv=-b2·a=-22=-1yv=fxv=f-1=-3

Nos resultar谩 de utilidad para la representaci贸n de la funci贸n sin valorar absoluto buscar ya los puntos de corte con el eje x.

x2+2x-2=0x=-2±22-4·1·-22·1=x1=-2+122=0.73x2=-2-122=-2.73

Ya podemos representar a la funci贸n, tanto sin valor absoluto como con 茅l:

funci贸n cuadr谩tica y su valor absoluto

En cuanto a la funci贸n a trozos quedar铆a:

fx=x2+2x-2six<-2.73-x2-2x+2si-2.73x0.73x2+2x-2six>0.73

fx=-x2-2x+2

Observa que la par谩bola en el interior del valor absoluto coincide con la del apartado anterior cambiada de signo, es decir, con las ramas hacia abajo. Los puntos de corte con el eje x son los mismos, y el v茅rtice tiene la misma coordenada x, aunque opuesta coordenada y. De manera que la representaci贸n final queda:

funci贸n cuadr谩tica y su valor absoluto

La representaci贸n por ramas nos queda:

fx=x2+2x-2six<-2.73-x2-2x+2si-2.73x0.73x2+2x-2six>0.73

Como puedes observar, tanto la representaci贸n gr谩fica como la anal铆tica a trozos coinciden con la del apartado anterior.

fx=ex-1

En este caso se trata de una funci贸n exponencial, que ha sufrido una transformaci贸n desplaz谩ndola una unidad verticalmente hacia abajo. Recuerda que la funci贸n exponencial de base e pasa por (0,1) y (1,e).

funci贸n exponencial

Ahora buscamos anal铆ticamente el punto/los puntos en los que se corta el eje x para poder hacer la reflexi贸n vertical de manera precisa:

ex-1=0ex=1ln=lnlnex=ln1lnab=blnaxlne=ln1lne=1ln1=0x=0

Con lo que la representaci贸n final nos queda:

funci贸n exponencial en valor absoluto

La funci贸n por ramas queda:

fx=-ex+1six<0ex-1six0

fx=lnx

Sabemos que la funci贸n logaritmo de x tiene la forma:

funci贸n logaritmo de x

Buscando anal铆ticamente el punto de corte con el eje x tenemos:

lnx=0x=1

Con lo que la funci贸n final nos queda:

Valor absoluto de la funci贸n logaritmo de x

En cuanto a la forma por ramas:

fx=-lnxsix<1lnxsix1

Ficha de f贸rmulas

Estas son las principales f贸rmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teor铆a de los apartados relacionados. Adem谩s, en ellos encontrar谩s, bajo la pesta帽a F贸rmulas, los c贸digos que te permitir谩n integrar estas f贸rmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

F贸rmulas
Apartados relacionados
y=fx=fxsifx0-fxsifx<0
fx=Expr1siSubconjunto1Expr2siSubconjunto2ExprnsiSubconjunton