Enunciado

dificultad
Dificultad fácil para los ejercicios de nivel avanzado

Realiza las siguientes operaciones, calcula el dominio de la función resultante y determina el elemento simétrico de cada función para la operación suma:

  1. fx=1xgx=x+2x-1⇒fx+gxfx-gx
  2. fx=x+2gx=2-x⇒fx+gxgx-fx
  3. fx=2x3+1gx=ln-x-2⇒gx+fx
  4. fx=x-1xgx=-x+1x⇒fx+gx

Solución

Consideraciones previas

Recuerda, el elemento simétrico de una función respecto a la suma es simplemente su función opuesta, pues al sumarse se obtiene el elemento neutro que en la suma es la función f(x) = 0, tal y como hemos visto en el apartado asociado.

Resolución

Apartado 1

f+gx=1x+x+2x-1=x-1+xx+2xx-1=x2+3x-1x2-xf-gx=1x-x+2x-1=-x2-x-1x2-x

Los dominios:

Domf=ℝ-0Domg=ℝ-0, 1⇒Domf+g=Domf-g=Domf∩Domg=ℝ-0,1

Los opuestos:

fx=1xgx=x+2x-1⇒-fx=-1x-gx=-x+2x-1

Apartado 2

f+gx=x+2+2-xg-fx=2-x - x+2

Los dominios:

Domf=[-2,∞)Domg=(-∞,2]⇒Domf+g=Domf-g=Domf∩Domg=[-2,2]

Los opuestos:

fx=x+2gx=2-x⇒-fx=-x+2-gx=-2-x

Apartado 3

f+gx=2x3+1+ln-x-2

Los dominios:

Domf=[-3/2,∞)Domg=(-∞,-2)⇒Domf+g=Domf-g=Domf∩Domg=∅

Este resultado implica que la función (f+g)(x) no existe, al no existir ningún valor que tenga imagen.

Los opuestos:

fx=2x3+1gx=ln-x-2⇒-fx=-2x3+1-gx=-ln-x-2

Apartado 4

f+gx=x-1x+-x+1x=0

Los dominios:

Domf=ℝ-0Domg=ℝ-0⇒Domf+g=Domf∩Domg=ℝ-0

Observa que, a la luz de la función suma simplificada, (f+g)(x)=0, podríamos concluir que el dominio es ℝ. Sería un error, pues el dominio de la suma es siempre la intersección de los dominios de ambas funciones.

Los opuestos:

fx=x-1xgx=-x+1x⇒-fx=-x-1x=-x+1x-gx=--x+1x=x-1x

Autor artículo
Sobre el autor
José Luis Fernández Yagües es ingeniero de telecomunicaciones, profesor experimentado y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo a ayudar a la gente a comprender la física, las matemáticas y el desarrollo web. Ama el queso y el sonido del mar.

Fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

Fórmulas
Apartados relacionados
Domf= x∈ℝ / ∃y=fx∈ℝ 
f+gx=fx+gxDomf+g=Domf∩Domg
f-gx=fx-gxDomf-g=Domf∩Domg

Y ahora... consulta más ejercicios relacionados o la teoría asociada si te quedaron dudas.

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