Enunciado

dificultad
Dificultad intermedia para los ejercicios de nivel avanzado

Calcula el dominio de las siguientes funciones con logaritmos.

  1. fx=lnx+1
  2. fx=log1-x
  3. fx=log23x-2
  4. fx=log5-3x2+5x-2
  5. fx=logπ3x2-5x+2
  6. fx=logex2-9
  7. fx=logx2+3x
  8. fx=log1282x3+14x2+8x-24

Solución

Consideraciones previas

El dominio de una función logarítmica está formado por el conjunto de los reales que hacen su argumento a(x) (lo que hay dentro del logaritmo) mayor que cero, independientemente de la base. En ese sentido, el procedimiento en todas los casos será similar: resolver la inecuación a(x)>0. En todos los casos del ejercicio el argumento es un polinomio. Ya hemos visto como podemos resolver unas inecuaciones similares, con los mismos polinomios, en el ejercicio dedicado al cálculo del dominio en funciones con raíces. En aquel caso, la inecuación tenía un signo ≥. La diferencia en este caso es que los extremos de los intervalos no se incluyen en el dominio, ya que en ellos el argumento se anula (y el logaritmo de cero no existe). 

Pondremos simplemente los resultados. Si quieres saber como factorizar los polinomios, visita el ejercicio señalado.

Resolución

fx=lnx+1

x+1>0⇒Domf=(-1,∞)

fx=log1-x

1-x>0⇒Domf=(-∞,1)

fx=log23x-2

3x-2>0⇒Domf=(2/3,∞)

fx=log5-3x2+5x-2

-3x2+5x-2>0⇒Domf=(2/3,1)

fx=logπ3x2-5x+2

3x2-5x+2>0⇒Domf=(-∞,2/3)∪(1,∞)

fx=logex2-9

x2-9>0⇒Domf=(-∞,-3)∪(3,∞)

fx=logx2+3x

x2+3x>0⇒Domf=(-∞,-3)∪(0,∞)

fx=log1282x3+14x2+8x-24

2x3+14x2+8x-24>0⇒Domf=(-6,-2)∪(1,∞)

Autor artículo
Sobre el autor
José Luis Fernández Yagües es ingeniero de telecomunicaciones, profesor experimentado y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo a ayudar a la gente a comprender la física, las matemáticas y el desarrollo web. Ama el queso y el sonido del mar.

Fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

Fórmulas
Apartados relacionados

x=-b±b2-4ac2a

Domf= x∈ℝ / ∃y=fx∈ℝ 

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