Límites de funciones a trozos

Consideraciones previas

Para calcular el límite de una función por ramas hay que estudiar la rama a la que pertenece el x considerado. Si se trata de un punto de cambio de rama, habría que estudiar los límites laterales para ver si coinciden, y por tanto existe el límite, o no coinciden, en cuyo caso no existiría. Revisa la teoría asociada en caso de que necesites refrescar estas ideas.

Resolución

1.-

$$\boxed{f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}x+2& \text{si}& x<3\\ -2x+5& \text{si}& x\ge 3\end{array}\right.\text{en} x=3\text{,} x=0 \text{y} x=5}$$

1.1-

$$\boxed{\underset{x\to 3}{\lim }f\left(x\right)}$$

Dado que en x=3 se produce un cambio de rama, tenemos que calcular los límites laterales:

$$\begin{gathered} \underset{x\to 3^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }x+2=3+2=5 \\ \underset{x\to 3^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }-2·x+5=-6+5=-1 \end{gathered}$$

Por tanto, dado que los límites laterales son distintos, no existe el límite:

$$\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f\left(x\right)\ne \underset{x\to 3^{+}}{\lim }f\left(x\right)\Rightarrow \nexists \underset{x\to 3}{\lim }f\left(x\right)$$

1.2-

$$\boxed{\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)}$$

En este caso podemos tomar la primera rama, en la que se encuentra incluido el x=0:

$$\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0}{\lim }x+2=2$$

1.3-

$$\boxed{\underset{x\to 5}{\lim }f\left(x\right)}$$

Ahora la rama a considerar es la segunda, en la que se encuentra incluido el x=5:

$$\underset{x\to 5}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 5}{\lim }-2x+5=-5$$

2.-

$$\boxed{f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}x+2& \text{si}& x<3\\ 3& \text{si}& x=3\\ x^2-4& \text{si}& x>3\end{array}\right.\text{en} x=0, x=3 \text{y} x=5}$$

2.1.-

$$\boxed{\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)}$$

Empezamos sustituyendo en la primera rama, que es en la que está x=0.

$$\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0}{\lim }x+2=0+2=2$$

2.2.-

$$\boxed{\underset{x\to 3}{\lim }f\left(x\right)}$$

Este caso pude presentarte algunas dudas. Observa que en 3 se produce un cambio de rama. Dado que te piden que calcules el límite "en x=3", podrías estar tentado de utilizar la segunda rama, y decir que el valor del límite es 3. Sin embargo, recuerda que el límite se estudia aproximándonos al valor pedido, y no en él, independientemente de que hayamos utilizado en el enunciado "en x=3". Por ello, debemos calcular los límites laterales y usar la primera y la tercera rama:

$$\begin{gathered} \underset{x\to 3^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }x+2=3+2=5 \\ \underset{x\to 3^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }{x}^2-4=3^2-4=5 \end{gathered}$$

Como los límites laterales coinciden, podemos escribir:

$$\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3}{\lim }f\left(x\right)=4$$

2.3.-

$$\boxed{\underset{x\to 5}{\lim }f\left(x\right)}$$

En este caso vamos a la tercera rama:

$$\underset{x\to 5}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 5}{\lim }{x}^2-4=5^2-4=21$$

3.-

$$\boxed{f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{2x^2-10x+1}{x^2+3x-10}& \text{si}& x>2\\ -3x+5& \text{si}& x<2\end{array}\right.\text{en} x=2}$$

$$\boxed{\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)}$$

Tal y como decíamos antes, aunque se diga que se calcule el límite en x=2, en realidad te están preguntando ¿qué pasa cuando x se acerca a 2?. Por eso, aunque la función no esté definida en x=2, se trata de un cambio de rama y tenemos que calcular los límites laterales para ver si coinciden:

$$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{2x^2-10x+1}{x^2+3x-10}=\left[\frac{0}{0}\right] \text{IND}$$

Un límite muy similar a este ya fue resuelto. En aquella ocasión x tendía a 2, en este caso tiende a 2^-. No obstante, dado que existe un factor común en el numerador y en el denominador, al final obtenemos el mismo resultado:

$$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{2x^2-10x+1}{x^2+3x-10}=-\frac{2}{7}$$

Ahora el límite por la derecha:

$$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }-3x+5=-1$$

Por tanto, no existe el límite pedido:

$$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)\ne \underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)\Rightarrow \nexists \underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)$$

4.-

$$\boxed{f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}{x}^2& \text{si}& x\ne 1\\ 2& \text{si}& x=1\end{array}\right.\text{en} x=1\text{,} x=3 \text{y} x=0}$$

Observa que en todos los casos tenemos que usar la misma rama, pues la función sólo vale 2 cuando x es exactamente igual a 1. En el resto de casos, hay que utilizar la rama x². Por tanto:

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0}{\lim }{x}^2=0 \\ \underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1}{\lim }{x}^2=1 \\ \underset{x\to 3}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3}{\lim }{x}^2=9 \end{gathered}$$

5.-

$$\boxed{f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}-\left(2+2x\right)& \text{si}& -1\ge x\\ 2-x^2& \text{si}& -1<x\le 1\\ 2x-1& \text{si}& x\ge 2\end{array}\right.\text{en} x=-1 \text{y} x=1}$$

5.1.-

$$\boxed{\underset{x\to -1}{\lim }f\left(x\right)}$$

Se trata de un punto de cambio de rama. Calcularemos los límites laterales usando la primera y la segunda rama respectivamente (ten presente que -1≥x es lo mismo que x≤-1):

$$\begin{gathered} \underset{x\to -1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -1^{-}}{\lim }-\left(2+2x\right)=0 \\ \underset{x\to -1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -1^{-}}{\lim }2-x^2=1 \end{gathered}$$

Con lo que no existe el límite:

$$\underset{x\to -1^{-}}{\lim }f\left(x\right)\ne \underset{x\to -1^{+}}{\lim }f\left(x\right)\Rightarrow \nexists \underset{x\to -1}{\lim }f\left(x\right)$$

5.2.-

$$\boxed{\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)}$$

En esta ocasión vemos que el 1 es el fin de la segunda rama, pero la función no está definida de nuevo hasta 2. Por tanto, no existe el límite pedido. Formalmente:

$$\nexists \underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)\Rightarrow \nexists \underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)$$

6.-

$$\boxed{f\left(x\right)=\left|x^2-2x\right| \text{en} x=0 \text{y} x=2}$$

Lo primero que debemos hacer es escribir la función anterior, en valor absoluto, como una función a trozos. Para ello debemos buscar los ceros, y hacer una tabla de signos:

$$x^2-2x=0\Rightarrow x·\left(x-2\right)=0\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_1=0\\ x_2=2\end{array}\right.$$

Como tenemos que cambiar el signo del intervalo o de los intervalos negativo/s podemos escribir:

$$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}{x}^2-2x& \text{si}& x\le 0\\ -\left(x^2-2x\right)& \text{si}& 0<x\le 2\\ x^2-2x& \text{si}& x>2\end{array}\right.$$

Recuerda que los signos igual en ≤ y ≥ podrían ir en cualquier rama. Por otro lado, vemos que los puntos pedidos en el límite son precisamente cambios de rama. En ambos hay que calcular los límites laterales. Vamos ello.

6.1.-

$$\boxed{\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)}$$

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }{x}^2-2x=0 \\ \underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }-\left(x^2-2x\right)=0 \end{gathered}$$

$$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=0\Rightarrow \underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=0$$

6.2.-

$$\boxed{\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)}$$

$$\begin{gathered} \underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }-\left(x^2-2x\right)=0 \\ \underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }{x}^2-2x=0 \end{gathered}$$

$$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=0\Rightarrow \underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=0$$

Observa que en ambos casos hemos llegado a un resultado lógico. En una función continua (como es el polinomio de este apartado) y en valor absoluto, los cambios de rama siempre se van a producir en los puntos en que se anula la función. Por ello, al estudiar el límite en ellos siempre obtendremos el valor 0.

7.-

$$\boxed{f\left(x\right)=\frac{\left|x\right|}{x} \text{en} x=0}$$

En este caso es |x| el que marca la conversión en forma de función por ramas. Como x se anula en x=0, nos queda:

$$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{x}{x}& \text{si}& x>0\\ \frac{-\left(x\right)}{x}& \text{si}& x<0\end{array}\right.$$

Observa que no podemos poner x≤0 ni x≥0 en ninguna rama, pues en 0 se anulan los denominadores. En definitiva, si calculamos los límites laterales, nos queda:

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{-x}{x}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }-1=-1 \\ \underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }1=1 \end{gathered}$$

$$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)\ne \underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)\Rightarrow \nexists \underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)$$

8.-

$$\boxed{f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{\left|x\right|}{x}& \text{si}& x\le 3\\ \frac{2}{3-x}& \text{si}& x>3\end{array} \text{en} x=0 \text{y} x=3\right.}$$

La particularidad de este apartado es que cuenta con una rama en valor absoluto, por lo que en primer lugar debemos ocuparnos de él. Se trata de transformar la rama, teniendo en cuenta los resultados del apartado 7, dónde la función en valor absoluto a transformar era la misma:

$$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{-x}{x}& \text{si}& x<0\\ \frac{x}{x}& \text{si}& 0<x\le 3\\ \frac{2}{3-x}& \text{si}& x>3\end{array}\right.$$

8.1.-

$$\boxed{\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)}$$

Dado que estamos en el cambio de rama del valor absoluto, obtenemos el mismo resultado que en el apartado anterior, esto es:

$$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=0\Rightarrow \underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=0$$

8.2.-

$$\boxed{\underset{x\to 3}{\lim }f\left(x\right)}$$

De nuevo un cambio de rama. Vamos a los límites laterales:

$$\begin{gathered} \underset{x\to 3^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\frac{x}{x}=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }1=1 \\ \underset{x\to 3^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{2}{3-x}=\frac{2}{3-3^{+}}\underset{3^{+}\approx 3.000...1}{=}\frac{2}{0^{-}}\underset{0^{-}\approx -0.000...1}{=}-\infty \end{gathered}$$

Con lo que debemos concluir que no existe el límite:

$$\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f\left(x\right)\ne \underset{x\to 3^{+}}{\lim }f\left(x\right)\Rightarrow \nexists \underset{x\to 3}{\lim }f\left(x\right)$$

9.-

$$\boxed{f\left(x\right)=\frac{1}{-1+\left|x\right|} \text{en} x=0 \text{y} x=-1}$$

Empezamos pasando a función a trozos:

$$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{1}{-1-x}& \text{si}& x<0\\ \frac{1}{-1+x}& \text{si}& x\ge 0\end{array}\right.$$

9.1.-

$$\boxed{\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)}$$

Se trata de un cambio de rama:

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{1}{-1-x}=-1 \\ \underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{-1+x}=-1 \end{gathered}$$

Con lo que el valor del límite es precisamente -1:

$$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)\Rightarrow \underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=-1$$

9.2.-

Nos encontramos en la segunda rama:

$$\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1}{-1+x}=\left[\frac{1}{0}\right] \text{IND}$$

Debemos calcular los límites laterales. Para ambos se usan la segunda rama, que es donde se incluye el 1:

$$\begin{gathered} \underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{1}{-1+x}=\frac{1}{-1+1^{-}}\underset{1^{-}\approx 0.999...}{=}\frac{1}{0^{-}}\underset{0^{-}\approx -0.000...1}{=}-\infty \\ \underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{1}{-1+x}=\frac{1}{-1+1^{+}}\underset{1^{+}\approx 1.000...1}{=}\frac{1}{0^{+}}\underset{0^{+}\approx 0.000...1}{=}+\infty \end{gathered}$$

Por tanto, esta vez no el límite en el punto pedido, al ser los laterales diferentes:

$$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)\ne \underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)\Rightarrow \nexists \underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)$$

¿Hora de tomarse un respiro?