Derivadas sencillas

Consideraciones previas

Utilizaremos la tabla de derivadas vistas en teoría. También las derivadas de operaciones con funciones, para el caso de la suma y de la resta, vistas en el mismo apartado.

Resolución

1.-

$$\boxed{f\left(x\right)=3x^2+\frac{2}{x}}$$

Primeramente convertimos el 2/x a su forma polinómica:

$$\frac{2}{x}=2·x^{-1}$$

Con lo que nos queda:

$$f\left(x\right)=3·x^2+2·x^{-1}\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=3·2·x^{2-1}+2·\left(-1\right)·x^{-1-1}=6x-\frac{2}{x^2}$$

2.-

$$\boxed{f\left(x\right)=\frac{x+2}{5}}$$

Podemos resolver según:

$$f\left(x\right)=\frac{x+2}{5}=\frac{x}{5}+\frac{2}{5}\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{5}+0$$

3.-

$$\boxed{f\left(x\right)=\sin \left(x\right)-\cos \left(x\right)}$$

La derivada del seno es el coseno, y del coseno menos el seno (recuerda coseno, con signo), quedando:

$$f\text{'}\left(x\right)=\cos \left(x\right)-\left(-\sin \left(x\right)\right)=\cos \left(x\right)+\sin \left(x\right)$$

4.-

$$\boxed{f\left(x\right)=\ln \left(x\right)+e^x}$$

La derivada del logaritmo neperiano es 1/x, y la de la exponencial la propia exponencial, quedando:

$$f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{x}+e^x$$

5.-

$$\boxed{f\left(x\right)=3\sqrt{x}-\frac{1}{x}}$$

Comenzamos pasando a forma polimónica ambos sumandos:

$$f\left(x\right)=3\sqrt{x}-\frac{1}{x}=3·x^{\frac{1}{2}}-x^{-1}$$

Donde hemos tenido presente que aⁿ=1/a^-n y que $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$. Así, tenemos:

$$f\text{'}\left(x\right)=3·\frac{1}{2}·x^{\frac{1}{2}-1}-\left(-1\right)·x^{-2}=\frac{3}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{x^2}$$