Derivada de función en valor absoluto

Consideraciones previas

Para calcular la derivada de una función en valor absoluto se procede en primer lugar definiéndola por intervalos. Posteriormente actuaremos como para cualquier otra función a trozos vista hasta ahora:

• La expresión de cada rama en la derivada será la derivada de la rama original
• Los extremos de cada rama son los mismos que los de la función original, teniendo en cuenta que si en la función original hay un signo =, la función derivada solo puede tener el signo igual cuando las derivadas laterales coinciden

Consulta la teoría asociada.

Resolución

1.-

$$\boxed{f\left(x\right)=\left|x-1\right|+\left|x\right|}$$

Empezamos definiendo cada valor absoluto como una función por intervalos. Recuerda que los puntos de cambio de rama se calculan igualando a cero lo encerrado por el valor absoluto. Para realizar la suma marcamos sobre una recta, a la derecha, todos los puntos de cambio de rama (0 y 1), para poder visualizar más claramente qué intervalos debemos sumar con qué intervalos. Nos queda:

$$\left.\begin{array}{r}\left|x-1\right|=\left\{\begin{array}{ccc}-x+1& \text{si}& x<1\\ x-1& \text{si}& x\ge 1\end{array}\right.\\ \left|x\right|=\left\{\begin{array}{ccc}-x& \text{si}& x<0\\ x& \text{si}& x\ge 0\end{array}\right.\end{array}\right\}\to \frac{\begin{array}{ccc}\overline{)-x+1 }& \overline{)-x+1 }& x-1\end{array}}{\begin{array}{ccc}-x & 0& \begin{array}{cc} x 1& x\end{array}\end{array}}$$

Entonces sumamos, y nos queda:

$$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}-2x+1& \text{si}& x<0\\ 1& \text{si}& 0\le x<1\\ 2x-1& \text{si}& x\ge 1\end{array}\right.$$

Si derivamos cada rama, nos queda:

$$\left\{\begin{array}{ccc}-2& \text{si}& x<0\\ 0& \text{si}& 0<x<1\\ 2& \text{si}& x>1\end{array}\right.$$

Los puntos problemáticos son precisamente los cambios de rama. ¿Podemos poner el signo igual en alguna de ellas? Sólo cuando las derivadas laterales coincidan:

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(0^{-}\right)=-2, f\text{'}\left(0^{+}\right)=0\Rightarrow f \text{no es derivable en} x=0 \\ f\text{'}\left(1^{-}\right)=0, f\text{'}\left(1^{+}\right)=2\Rightarrow f \text{no es derivable en} x=1 \end{gathered}$$

Como la función no es derivable en los cambios de rama, no podemos poner el signo igual en ninguna de ellas, quedando:

$$f\text{'}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}-2& \text{si}& x<0\\ 0& \text{si}& 0<x<1\\ 2& \text{si}& x>1\end{array}\right.$$