Derivadas laterales a partir de gráfica

Consideraciones previas

El valor de la derivada de la función en el lateral izquierdo o derecho de un punto corresponde con el valor de la pendiente de la recta tangente a la función en el lateral correspondiente del punto.

Además, recuerda que conocidos dos puntos por los que pase la recta, P₁(x₁, y₁) y P₂(x₂, y₂), podemos calcular la pendiente de la misma según:

$$m=\frac{∆y}{∆x}$$

Resolución

x=-2

La función en x=-2 es continua, por lo que no importa si nos acercamos a -2 por la izquierda (-2^-) o por la derecha (-2⁺). En cualquiera de lo casos, la recta tangente a la función coincide con la propia recta, que vemos que desciende una unidad de y por cada incremento de x. Dicho de otro modo:

$$\frac{∆y}{∆x}=\frac{-1}{1}=-1$$

$$f\text{'}\left(-2^{-}\right)=f\text{'}\left(-2^{+}\right)=-1$$

Es decir, la pendiente de la recta será -1 al igual que las derivadas laterales.

x=-1

Este es un punto de cambio de rama, con lo que las derivadas laterales dependerán de la pendiente de la recta tangente en la rama considerada.

Por la izquierda la derivada valdría -1, al igual que en el apartado anterior, al tratarse de la misma recta.

Para calcular la derivada lateral por la derecha observamos que por cada dos cuadros de x crece uno de y por lo que:

$$\frac{∆y}{∆x}=\frac{1}{2}$$

Por tanto:

$$f\text{'}\left(-1^{-}\right)=-1 ;\hspace{0.17em}f\text{'}\left(-1^{+}\right)=1/2$$

x=1

En este punto solamente está definida la derivada por la izquierda y es $\frac{1}{2}$, al ser la misma recta que en el apartado anterior. Es decir:

$$f\text{'}\left(1^{-}\right)=1/2 ;\hspace{0.17em}\nexists f\text{'}\left(1^{+}\right)$$

x=3

En el punto de abscisa x=3 tenemos, por su lateral izquierdo, una parábola cuyo vértice es precisamente ese. Por tanto, la derivada por la izquierda corresponderá con la pendiente de la recta tangente que pasa por dicho punto. La recta tangente al vértice de una parábola es una recta paralela al eje x, con lo que tanto la pendiente como la derivada lateral izquierda valen 0.

Por otro lado, por el lateral derecho tenemos una recta de pendiente -1:

$$f\text{'}\left(2^{-}\right)=0 ;\hspace{0.17em} f\text{'}\left(2^{+}\right)=-1$$