Cálculo de derivadas laterales

Consideraciones previas

Para determinar el valor de las derivadas laterales de una función en un punto tendremos que tener en cuenta si están definidas por una sola expresión analítica o por el contrario están definidas a trozos.

En el primer caso, las derivadas laterales en el punto, que debe pertenecer al dominio, coincidirán con el valor de la derivada en el punto, calculado tal y como hemos visto hasta ahora.

En el segundo caso, deberemos considerar la rama a la cual pertenezca el punto por el lateral considerado.

De forma general, aunque el proceso sea más largo que aplicando las reglas de derivación, también puedes usar la definición de derivada lateral ya conocida:

$$f\text{'}\left(a^{\pm }\right)=\underset{h\to 0^{\pm }}{\lim }\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}$$

Véase el apartado dedicado a las derivadas laterales para ampliar información.

Resolución

1.-

$$\boxed{f\left(x\right)=2x+1 \text{en} x=0}$$

En este primer caso, haremos uso de la definición de la derivada por la izquierda y la derivada por la derecha:

$$f\text{'}\left(a^{-}\right)=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}=f\text{'}\left(0^{-}\right)=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{f\left(0+h\right)-f\left(0\right)}{h}$$

Teniendo en cuenta que:

$$\begin{gathered} f\left(0+h\right)=f\left(h\right)=2h+1 \text{y} \\ f\left(0\right)=2·0+1=1 \end{gathered}$$

Nos queda que:

$$f\text{'}\left(0^{-}\right)=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{2h\cancel{+1}\cancel{-1}}{h}=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{2\cancel{h}}{\cancel{h}}=2$$

Y por la derecha:

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(a^{+}\right)=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}=f\text{'}\left(0^{+}\right)=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(0+h\right)-f\left(0\right)}{h}= \\ f\text{'}\left(0^{+}\right)=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{2h+1-1}{h}=2 \end{gathered}$$

Como las derivadas laterales coinciden, podemos escribir: f'(0)=2.

2.-

$$\boxed{f\left(x\right)=e^x+1 \text{en} x=-3}$$

En este segundo caso, haremos uso de las reglas de derivación. Se trata de una función definida por una sola expresión analítica, derivable en todo su dominio, por lo que las derivadas laterales coincidirán, es decir:

$$f\text{'}\left(-3^{-}\right)=f\left(-3^{+}\right)=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }D\left(e^x+1\right)=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }D\left(e^x+1\right)={e^x}_{\overline{)x=-3}}=e^{-3}=\frac{1}{e^3}$$

Como las derivadas laterales coinciden, podemos escribir: f'(-3)=1/e³.

3.-

$$\boxed{f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}{x}^2-1& \text{si}& x<0\\ -x+2& \text{si}& x\ge 0\end{array}\right\} \text{en} x=2 \text{y en} x=0}$$

En una función definida a trozos habremos de identificar si nos piden un punto de cambio de rama para proceder de una u otra manera. El punto x=2 no es de cambio de rama, y corresponde a un polinomio, que es una función derivable en todos los reales, por lo que:

$$f\text{'}\left(2^{-}\right)=f\text{'}\left(2^{+}\right)=D{\left(-x+2\right)}_{\overline{)x=2}}=-1_{\overline{)x=2}}=-1$$

Con lo que, al coincidir las derivadas laterales, podríamos escribir que f'(2)=-1

Para el cálculo en x=0 tenemos que fijarnos en la rama adecuada:

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(0^{-}\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }D\left(x^2-1\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }2x=0 \\ f\text{'}\left(0^{+}\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }D\left(-x+2\right)=-1 \end{gathered}$$

Como las derivadas laterales no coinciden, no existe f'(0).

4.-

$$\boxed{f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{ccc}\frac{x}{2}+0,5& \text{si}& x<1\end{array}\\ \begin{array}{ccc}2x^2-1& \text{si}& x\ge 1\end{array}\end{array}\text{en} x=1\right.}$$

Resolvemos teniendo en cuenta que el punto que se nos pide es el de cambio de rama:

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(1^{-}\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }D\left(\frac{x}{2}+0,5\right)=\frac{1}{2} \\ f\text{'}\left(1^{+}\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }D\left(2x^2-1\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }4x=4 \end{gathered}$$

Como las derivadas laterales no coinciden, no existe f'(1).

5.-

$$\boxed{f\left(x\right)=\frac{x+1}{x-1} \text{en} x=1}$$

Esta función no es continua en el punto pedido, al no existir f(1), por lo que no puede ser derivable en él. Vamos con la siguiente.

6.-

$$\boxed{f\left(x\right)=x\left|x-2\right|}$$

Se trata de una función con valor absoluto, que puede ser expresada como una función a trozos:

Sabemos que:

$$x-2=0\Rightarrow x=2$$

Ese será el cambio de rama. En primer lugar:

$$\left|x-2\right|=\left\{\begin{array}{ccc}x-2& \text{si}& x\le 2\\ -\left(x-2\right)& \text{si}& x>2\end{array}\right.=\left\{\begin{array}{ccc}x-2& \text{si}& x\le 2\\ -x+2& \text{si}& x>2\end{array}\right.$$

Por lo que:

$$f\left(x\right)=x\left|x-2\right|=\left\{\begin{array}{ccc}x\left(x-2\right)& \text{si}& x\le 2\\ -x\left(x-2\right)& \text{si}& x>2\end{array}\right.=\left\{\begin{array}{ccc}{x}^2-2x& \text{si}& x\le 2\\ -x^2+2x& \text{si}& x>2\end{array}\right.$$

Y calculamos:

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(2^{-}\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }D\left(x^2-2x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }2x-2=2 \\ f\text{'}\left(2^{+}\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }D\left(-x^2+2x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }-2x+2=-2 \end{gathered}$$

Como las derivadas laterales no coinciden, no existe f'(2). Es lo que cabía esperar ya que gráficamente en x=2 hay un punto anguloso debido al valor absoluto.

7.-

$$\boxed{f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}{a}^x& \text{si}& x<-1\\ \frac{-bx}{3}& \text{si}& x\ge -1\end{array} \text{en} x=-1\right.}$$

Hayamos la derivada de esta función calculándola por la izquierda y por la derecha:

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(-1^{-}\right)=\underset{x\to -1^{-}}{\lim }D\left(a^x-2\right)=\underset{x\to -1^{-}}{\lim }{a}^x=a^{-1}=\frac{1}{a} \\ f\text{'}\left(-1^{+}\right)=\underset{x\to -1^{+}}{\lim }D\left(\frac{-bx}{3}\right)=\frac{b}{3} \end{gathered}$$

Por tanto, existirá f'(-1) en aquellos valores que cumplan que 1/a=b/3, por ejemplo a=1 y b=3, siendo f'(-1)=1.