Enunciado

dificultad

Un satélite de 2000 kg se sitúa en una órbita circular sobre la Tierra a una altura de 18000 km. Determina el trabajo que será necesario realizar sobre el satélite para que el radio de la órbita se reduzca a la mitad.

Datos: Radio de la Tierra: 6371 km; Masa de la Tierra: 5.97·1024 kg


Solución

Datos

  • Masa del satélite m = 2000 kg
  • Altura sobre la Tierra h = 18000 km
  • Radio de la Tierra Rt = 6371 km = 6371·103 m
  • Masa de la Tierra Mt = 5.97·1024 kg

Consideraciones previas

  • Al cambiar la órbita del satélite se modificará su energía mecánica asociada. Por lo que el trabajo para cambiar la órbita del satélite vendrá dado por la diferencia de energía mecánica de cada órbita:

    Wext=Em

  • Hemos visto, en el ejercicio señalado, que se puede calcular la energía mecánica de un satélite a partir del radio de su órbita según:

    Em=Ep2=-G·M·m2·r

Resolución

En primer lugar debemos determinar el radio inicial y el radio final de la órbita. Dado que el satélite inicialmente se encuentra a una altura sobre la superficie de la Tierra de 18000 km, la distancia al centro de la Tierra será:

Rorb_1=RT+h=24371·103m

En cuanto al radio final, será la mitad del radio inicial, es decir:

Rorb_2=Rorb_12=12185.5·103m

Aplicando las expresiones anteriores señaladas podemos escribir:

Wext=Em=Emorb_2-Emorb_1=-G·MT·m2·1Rorb_2-1Rorb_1==-6.67·10-11·5.97·1024·20002·112185.5·103-124371·103=-1.63·1010J

Observa que el signo del trabajo indica que hemos de sustraer energía al satélite para situarlo en su nueva órbita (ya que al tener menos altura también tiene una energía mecánica asociada menor). Por otro lado, en la sección fórmulas hemos hecho una completa lista de las fórmulas básicas que necesitas para deducir el valor de energía mecánica de un satélite en su órbita. Si deseas conocer el desarrollo completo visita el ejercicio indicado anteriormente.

Ficha de fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

Fórmulas
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