Enunciado

dificultad

Un satélite que orbita en torno a la Tierra cuenta con 2300 kg de masa. Su trayectoria, circular, lo sitúa a una altura de 1350 km de altura sobre el nivel del mar. Determina:

  • La energía mecánica del satélite
  • Su energía cinética
  • El módulo del momento angular
  • El trabajo que tendría que realizar el satélite para escapar a la influencia del campo gravitatorio desde su órbita

Dato: Radio de la TIerra: 6370 km ; Masa de la Tierra: 5.97·1024 kg


Solución

Datos

  • Masa del satélite: m = 2300 kg
  • Altura sobre el nivel del mar de la trayectoria del satélite: h = 1350 km = 1350·103 m
  • Radio de la TIerra: R = 6370 km = 6370·103 m
  • Masa de la Tierra: M = 5.97·1024 kg

Consideraciones previas 

Sabemos que para que el satélite de masa m mantenga su órbita circular se debe cumplir la condición de estabilidad dinámica, es decir, que la fuerza gravitatoria sea la centrípeta del movimiento (de otro modo, el satélite acabaría alejándose o acercándose a la Tierra). Esto nos impone la velocidad a la que puede orbita el satélite a una distancia r=R+h del centro del planeta según:

Fg=FcG·M·mr2=m·v2rv=G·Mr

Por otro lado, la energía mecánica del satélite, como la de cualquier cuerpo sometido exclusivamente a la fuerza gravitatoria, viene dada, cuando gira con órbita circular a una distancia r del centro de un planeta de masa M a velocidad v por:

Em=Ep+Ec=12·m·v2-G·M·mr 

Aplicando a la expresión anterior la expresión de v que impone la condición de estabilidad dinámica, nos queda el valor de energía mecánica de un satélite a partir de su energía potencial:

Em=12·m·G·Mr2-G·M·mr=-12·G·M·mrEm=Ep2 

Otra cuestión de relevancia que nos preguntan en el ejercicio es el trabajo de escape desde una órbita. Sabemos que el trabajo mínimo de escape será aquel trabajo exterior que haga llegar al cuerpo al infinito con velocidad cero, es decir, aquel que, aplicado al satélite, varíe la energía mecánica de este hasta hacerla 0. Por tanto:

Wesc=Em=Emf-Emi=0-EmiWesc=-Ep2

Observa que este valor es menor que si quisiésemos llevar un cuerpo en reposo a la misma altura hasta el infinito. La razón es que el satélite en su órbita estable ya cuenta con cierta energía cinética, por lo que su energía mecánica inicial es mayor.

Resolución

Ya estamos en disposición de calcular el primer y el tercer apartado a partir de la energía potencial del satélite en órbita:

Ep=-G·M·mR+h=-6.67·10-11·5.97·1024·23006370+1350·103=-1.186·1011J

Por tanto, el valor de energía mecánica del satélite en su órbita pedido es:

Em=Ep2=-1.186·10112=-5.93·1010J

En cuanto al trabajo de escape de la órbita:

Wesc=-Ep2=--1.186·10112=5.93·1010J

Calcular la energía cinética pedida en el segundo apartado tampoco reviste dificultad:

Ec=Em-Ep=Ep2-Ep=-Ep2=-Em=5.93·1010J

Observa que el valor de la energía cinética en el movimiento circular del satélite coincide con el valor de la energía mecánica cambiado de signo.

Finalmente para poder calcular el módulo del momento angular del satélite, pedido en el tercer apartado, es importante conocer el valor de la velocidad del satélite, es decir:

v=G·MR+h=6.67·10-11·5.97·10246370+1350·103=7181.9m/s

Ahora es el momento de aplicar la expresión del momento angular y obtener su valor:

L=r×p=m·r×v=m·r·v·sin90º=m·r·v=2300·6470+1350·103·7181.9=1.275·1014 kg·m2/s

Ficha de fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

Fórmulas
Apartados relacionados