Recorrido a partir de función inversa

Consideraciones previas

Recuerda, como hemos visto en la teoría asociada, el método de la inversa consiste en calcular el dominio de la función inversa, que coincide con el recorrido de la función original.

Por otro lado, recuerda que los cuadros o tablas de signos son muy útiles para resolver inecuaciones siempre qué la función se pueda descomponer en productos o cocientes de productos. Éstos nos muestran el signo de la función según los distintos intervalos de x. ¿Empezamos?

Resolución

$$\boxed{f\left(x\right)=\frac{3x+2}{x}}$$

$$\begin{gathered} y=\frac{3x+2}{x}\Rightarrow x=\frac{3y+2}{y}\Rightarrow xy=3y+2\Rightarrow xy-3y=2\Rightarrow y\left(x-3\right)=2\Rightarrow \\ \Rightarrow y=\frac{2}{x-3} \end{gathered}$$

El dominio de esta función, que llamaremos f^-1, y por tanto el recorrido de la función f original es el conjunto de valores que no anulan el denominador, es decir:

$$Do{m}_{f^{-1}}=Re{c}_f=\mathrm{ℝ}-\left\{3\right\}$$

Observa que podríamos haber llegado a este mismo resultado simplificando la función original:

$$f\left(x\right)=\frac{3x+2}{x}=\frac{3x}{x}+\frac{2}{x}=3+\frac{2}{x}$$

Como ves, es una función racional "tipo" (k/x), a la que hemos sumado 3 unidades (es decir, hemos desplazado 3 unidades hacia arriba). Sabiendo que la función racional k/x tiene por recorrido el conjunto de los reales, excepto el 0, "subiéndola" tres unidades tendremos el nuevo recorrido será el conjunto de los reales excepto el 0+3=3.

$$f\left(x\right)=\frac{3x+2}{x}=\frac{3x}{x}+\frac{2}{x}=3+\frac{2}{x}$$

$$\boxed{f\left(x\right)=\frac{3}{x^2-9}}$$

$$y=\frac{3}{x^2-9}\Rightarrow x=\frac{3}{y^2-9}\Rightarrow x{y}^2-9x=3\Rightarrow y^2=\frac{3+9x}{x}\Rightarrow y=\pm \sqrt{\frac{3+9x}{x}}$$

Llegados a este punto, podrías tener la tentación de simplificar según:

$$\frac{3+9x}{x}=\frac{3}{x}+9$$

Eso cambiaría el dominio, con lo que no debes hacerlo. Para calcular el dominio debemos evitar que el denominador sea cero, y asegurar que el radicando es mayor o igual que cero:

$$\left.\begin{array}{r}x\ne 0\\ \frac{3+9x}{x}\ge 0\end{array}\right\}$$

Para resolver la segunda de las inecuaciones buscamos las raíces, y estudiamos el signo en cada intervalo relevante mediante tabla de signos:

$$3+9x=0\Rightarrow x=-\frac{1}{3}$$

A partir de la tabla anterior y de la condición de que x no puede ser cero, nos queda que el dominio de la función inversa, y por tanto el recorrido de la original es:

$$Do{m}_{f^{-1}}=Re{c}_f=(-\infty ,-1/3]\cup (0,\infty )$$

$$\boxed{f\left(x\right)=2^{\frac{1}{1-x}}}$$

$$\begin{gathered} y=2^{\frac{1}{1-x}}\Rightarrow x=2^{\frac{1}{1-y}}\Rightarrow \ln \left(x\right)=\ln \left(2^{\frac{1}{1-y}}\right)\underset{\ln \left(a^b\right)b\ln \left(a\right)}{\Rightarrow }\ln \left(x\right)=\frac{1}{1-y}\ln \left(2\right)\Rightarrow \\ \Rightarrow 1-y=\frac{\ln \left(2\right)}{\ln \left(x\right)}\Rightarrow y=1-\frac{\ln \left(2\right)}{\ln \left(x\right)} \end{gathered}$$

Existen dos restricciones a ese dominio. Por un lado, el logaritmo impone que x>0. Por otro lado, el logaritmo neperiano de x debe ser distinto de cero, pues se encuentra en un denominador. Sabemos que eso ocurre en x=1 (ln(1)=0) , con lo que el dominio de la función, y por tanto el recorrido de la función original será:

$$Do{m}_{f^{-1}}=Re{c}_f=(0,\infty )-\left\{1\right\}$$