Enunciado

dificultad
Dificultad intermedia para los ejercicios de nivel avanzado

Suponiendo que todas las funciones siguientes tienen funci贸n inversa, calcula, a partir de ella, el recorrido de las mismas:

  1. fx=3x+2x
  2. fx=3x2-9
  3. fx=211-x

Soluci贸n

Consideraciones previas

Recuerda, como hemos visto en la teor铆a asociada, el m茅todo de la inversa consiste en calcular el dominio de la funci贸n inversa, que coincide con el recorrido de la funci贸n original.

Por otro lado, recuerda que los cuadros o tablas de signos son muy 煤tiles para resolver inecuaciones siempre qu茅 la funci贸n se pueda descomponer en productos o cocientes de productos. 脡stos nos muestran el signo de la funci贸n seg煤n los distintos intervalos de x. 驴Empezamos?

Resoluci贸n

fx=3x+2x

y=3x+2xx=3y+2yxy=3y+2xy-3y=2yx-3=2y=2x-3

El dominio de esta funci贸n, que llamaremos f-1, y por tanto el recorrido de la funci贸n f original es el conjunto de valores que no anulan el denominador, es decir:

Domf-1=Recf=-3

Observa que podr铆amos haber llegado a este mismo resultado simplificando la funci贸n original:

fx=3x+2x=3xx+2x=3+2x

Como ves, es una funci贸n racional "tipo" (k/x), a la que hemos sumado 3 unidades (es decir, hemos desplazado 3 unidades hacia arriba). Sabiendo que la funci贸n racional k/x tiene por recorrido el conjunto de los reales, excepto el 0, "subi茅ndola" tres unidades tendremos el nuevo recorrido ser谩 el conjunto de los reales excepto el 0+3=3.

fx=3x+2x=3xx+2x=3+2x

fx=3x2-9

y=3x2-9x=3y2-9xy2-9x=3y2=3+9xxy=3+9xx

Llegados a este punto, podr铆as tener la tentaci贸n de simplificar seg煤n:

3+9xx=3x+9

Eso cambiar铆a el dominio, con lo que no debes hacerlo. Para calcular el dominio debemos evitar que el denominador sea cero, y asegurar que el radicando es mayor o igual que cero:

x03+9xx0

Para resolver la segunda de las inecuaciones buscamos las ra铆ces, y estudiamos el signo en cada intervalo relevante mediante tabla de signos:

3+9x=0x=-13

(-鈭, -1/3) (-1/3, 0) (0,鈭)
x - - +
(3+9x) - + +
(3+9x)/x + - +

A partir de la tabla anterior y de la condici贸n de que x no puede ser cero, nos queda que el dominio de la funci贸n inversa, y por tanto el recorrido de la original es:

Domf-1=Recf=(-,-1/3](0,)

fx=211-x

y=211-xx=211-ylnx=ln211-ylnabblnalnx=11-yln21-y=ln2lnxy=1-ln2lnx

Existen dos restricciones a ese dominio. Por un lado, el logaritmo impone que x>0. Por otro lado, el logaritmo neperiano de x debe ser distinto de cero, pues se encuentra en un denominador. Sabemos que eso ocurre en x=1 (ln(1)=0) , con lo que el dominio de la funci贸n, y por tanto el recorrido de la funci贸n original ser谩:

Domf-1=Recf=(0,)-1

Autor art铆culo
Sobre el autor
Jos茅 Luis Fern谩ndez Yag眉es es ingeniero de telecomunicaciones, profesor experimentado y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo a ayudar a la gente a comprender la f铆sica, las matem谩ticas y el desarrollo web. Ama el queso y el sonido del mar.

F贸rmulas

Estas son las principales f贸rmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teor铆a de los apartados relacionados. Adem谩s, en ellos encontrar谩s, bajo la pesta帽a F贸rmulas, los c贸digos que te permitir谩n integrar estas f贸rmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

F贸rmulas
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