Enunciado

dificultad

Estudia los intervalos de signo constante en las siguientes funciones:

  1. fx=-12x2+12x+3
  2. fx=x+2x-2
  3. fx=x2x+4
  4. fx=x-9x

Soluci贸n

Resoluci贸n

fx=-12x2+12x+3

Comenzamos buscando los ceros de la funci贸n:

fx=0-12x2+12x+3=0x=-12±122-4·-12·32·-12=x1=-2x2=3

En los ceros la funci贸n puede cambiar de signo, con lo que dichos ceros dividen la recta real en 3 intervalos, a efectos de signo constante. Para saber exactamente qu茅 pasa en estos intervalos usamos una tabla de signos. En ella calculamos la imagen de la funci贸n de un valor arbitrario en cada intervalo y vemos qu茅 signo tiene. El signo que tenga esa imagen ser谩 el mismo que toda la funci贸n en el intervalo se帽alado.

  (-鈭,-2) (-2,3) (3,鈭)
-x2/2+x/2+3 - + -

Observa que, por comodidad, tambi茅n podr铆amos haber trabajado con la funci贸n factorizada.

fx=-12x2+12x+3fx=-12·x+2·x-3

As铆, en lugar de sustituir directamente en la funci贸n, podemos hacer una fila para cada factor de la funci贸n, y una 煤ltima para la funci贸n total, cuyo signo ser谩 el producto de los signos de las filas inmediatamente encima. La tabla alternativa:

  (-鈭,-2) (-2,3) (3,鈭)
x+2 - + +
x-3 - - +
-1/2路(x+2)路(x-3) - + -

Observa que el signo de la 煤ltima fila es el producto de los signos de la fila anterior (cada celda se obtiene multiplicando las celdas anteriores de la misma columna), multiplicado por - debido al factor -1/2.

En definitiva:

  • Signo positivo: (2,3)
  • Signo negativo: (-鈭,-2)鈭(3,鈭)

fx=x+2x-2

En este caso tenemos una funci贸n racional, los valores potenciales en los que la funci贸n puede cambiar de signo, adem谩s de los ceros de la funci贸n, f(x)=0, son los valores que anulan el denominador, que ser谩n as铆ntotas verticales. Por tanto nos queda:

fx=0x+2=0x=-2 ;x-2=0x=2

Construimos la tabla para estudiar el signo:

  (-鈭,-2) (-2,2) (2,鈭)
x+2 - + +
x-2 - - +
(x+2)/(x-2) + - +
  • Signo positivo: (-鈭,-2)鈭(2,鈭)
  • Signo negativo: (-2,2)

fx=x2x+4

Al igual que antes, estudiamos los valores que anulan el numerador (la funci贸n) y el denominador (as铆ntotas verticales):

fx=0x2=0x=0x+4=0x=-4

Construimos tabla:

  (-鈭,-4) (-4,0) (0,鈭)
x2 + + +
x+4 - + +
(x2/(x+4) - + +
  • Signo positivo: (-4,鈭)
  • Signo negativo: (-鈭,-4)

fx=x-9x

Aunque la forma de la funci贸n difiere un poco de las anteriores, el procedimiento es el mismo: calculamos puntos potenciales de cambio de signo, esto es, ceros de la funci贸n y cancelaci贸n de denominadores.

fx==x-9x=0x2-9=0x=±3;x=0;

Con los 3 valores encontrados, x=-3 , x=0 y x=3, construimos el cuadro de signos:

  (-鈭,-3) (-3,0) (0,3) (3,鈭)
x-9/x - + - +
  • Signo positivo: (-3,0)鈭(3,鈭)
  • Signo negativo: (-鈭,-3)鈭(0,3)

Ficha de f贸rmulas

Estas son las principales f贸rmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teor铆a de los apartados relacionados. Adem谩s, en ellos encontrar谩s, bajo la pesta帽a F贸rmulas, los c贸digos que te permitir谩n integrar estas f贸rmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

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