Enunciado

dificultad
Dificultad intermedia para los ejercicios de nivel avanzado

Calcula el conjunto imagen en las siguientes funciones:

  1. fx=-2
  2. fx=2x3-1
  3. fx=-x2+3x-1
  4. fx=-x2+3x-1
  5. fx=x13
  6. fx=3sinx2+2
  7. fx=3secx2+2

Soluci贸n

Consideraciones previas

El recorrido de las funciones anteriores puede ser calculado directamente si conoces las caracter铆sticas de las funciones b谩sicas estudiadas en la teor铆a. Visita el apartado asociado si necesitas refrescar tu memoria.

Resoluci贸n

fx=-2

Se trata de una funci贸n constante. Su recorrido:

Recf=-2

fx=2x3-1

Funci贸n polif贸nica de primer grado. Su gr谩fica es una recta y su recorrido:

Recf=

fx=-x2+3x-1

Polinomio de segundo grado que gr谩ficamente es una par谩bola con las ramas hacia abajo (a<0). El recorrido de la misma comprende desde -鈭 hasta la coordenada y de su m谩ximo, situado en su v茅rtice. Comenzamos calculando la coordenada x del v茅rtice.

xv=-b2a=-32-1=1.5

Ahora, sustituyendo esa coordenada x en la funci贸n, obtenemos la coordenada y del v茅rtice:

f1.5=-1.52+31.5-1=1.25

Con lo que el recorrido nos queda:

Recf=(-,1.25]

fx=-x2+3x-1

Se trata de la misma funci贸n que antes pero afectada por el valor absoluto. Como sabes, el valor absoluto de un n煤mero es ese mismo n煤mero "en positivo" (si ya era positivo, el n煤mero no cambia). Para calcular el recorrido de esta funci贸n lo mejor es que representes la funci贸n sin valor absoluto gr谩ficamente y luego se lo apliques, para ver qu茅 pasa:

par谩bola y su valor absoluto

Par谩bola y su valor absoluto

Representaci贸n de la par谩bola de la funci贸n anterior, en l铆nea roja discontinua, y su valor absoluto, en l铆nea roja continua. Como puedes ver, en la versi贸n de la funci贸n con valor absoluto, todo lo que antes quedaba debajo del eje x pasa a estar encima.

Por tanto, el conjunto imagen queda:

Recf=[0,)

fx=x13

Todas las ra铆ces de x de 铆ndice impar (13 en este caso) tienen el mismo recorrido:

Domf=

fx=3sinx2+2

La funci贸n seno siempre oscila entre -1 y 1. Como en este caso va multiplicada por tres, el recorrido nos queda:

Recf=[-3,3]

fx=3secx2+2

El recorrido de la funci贸n secante es el "complementario" al de la funci贸n seno, al estar multiplicado por tres nos queda:

Recf=(-,-3][3,)

Autor art铆culo
Sobre el autor
Jos茅 Luis Fern谩ndez Yag眉es es ingeniero de telecomunicaciones, profesor experimentado y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo a ayudar a la gente a comprender la f铆sica, las matem谩ticas y el desarrollo web. Ama el queso y el sonido del mar.

F贸rmulas

Estas son las principales f贸rmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teor铆a de los apartados relacionados. Adem谩s, en ellos encontrar谩s, bajo la pesta帽a F贸rmulas, los c贸digos que te permitir谩n integrar estas f贸rmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

F贸rmulas
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