Enunciado

dificultad
Dificultad intermedia para los ejercicios de nivel avanzado

1.- Dibuja la gr谩fica de f(x)=x2. A partir de ella dibuja: a) gx=fx+1 ; b) gx=fx+2+1 ; c) gx=fx2 ; d) gx=fx-22

2.- Dibuja la gr谩fica de f(x)=1/x. A partir de ella dibuja:鈥嬄燼)fx=1x+2 ; b) fx=1x-3+2 ; c)fx=12x ; d) fx=1-x+2

3.- Representa fx=-3-x-2

4.- A partir de la gr谩fica de la funci贸n f(x) de la ilustraci贸n:

Funci贸n arbitraria

Representa: a) g(x)=-f(-x) ; b) g(x)=3-f(-x) ; c) g(x)=3-f(-2x) ; d) g(x)=3-2路f(-2x-2)

Soluci贸n

Resoluci贸n

Apartado 1

La gr谩fica de la funci贸n original es una par谩bola vertical centrada en el origen.

par谩bola vertical centrada en el origen

De manera que, en a) tenemos un desplazamiento vertical, en b) un desplazamiento horizontal, en c) una expansi贸n horizontal, y en d) la combinaci贸n de una expansi贸n聽y un desplazamiento horizontales. La ilustraci贸n siguiente representa todos estos casos:

transformaciones sobre par谩bola vertical centrada en el origen

Tambi茅n es interesante escribir la expresi贸n anal铆tica de cada una de estas funciones. As铆:

  • a) g(x)=f(x)+1=x2+1
  • b) g(x)=f(x+2)+1=(x+2)2+1=x2+4x+5
  • c) g(x)=f(x/2)=(x/2)2=x2/4
  • d) gx=fx-22=x-222=x2-4x+44=x24-x+1

Merece la pena que observes bien el caso d). Dado que hay que realizar varias transformaciones, el orden es importante, y, si queremos aplicar el visto en teor铆a, debemos comenzar transformando: fx-22=fx2-1.Por otro lado, observa que en la expansi贸n, el punto (1,0) pasa a situarse en el (2,0).

Apartado 2

La gr谩fica de la funci贸n original es una hip茅rbola centrada en el origen.

hip茅rbola centrada en el origen

En este caso cada uno de los apartados contiene la expresi贸n desarrollada, que tendemos que identificar con una de las transformaciones posibles sobre la funci贸n original en la forma f(x)+k, f(x+k), etc. Por comodidad vamos a llamar a las nuevas funciones g(x) y a la original f(x). As铆 tenemos:

  • gx=1x+2=fx+2=> Desplazamiento vertical
  • gx=1x-3+2=fx-3+2=> Desplazamiento horizontal y vertical
  • gx=12x=f2x=> Contracci贸n horizontal
  • gx=1-x+2=f-x+2Desplazamiento horizontal e inversi贸n.
transformaciones sobre hip茅rbola centrada en el origen

Apartado 3

Para llegar a la representaci贸n de la funci贸n final comenzaremos con gx=x.

Ra铆z cuadrada centrada en el origen

...y realizaremos las transformaciones siguientes:

gx=xgx-2=x-2Desplazamiento聽horizontalg-x-2=-x-2Reflexi贸n聽horizontal-g-x-2=--x-2Reflexi贸n聽vertical-3g-x-2=-3-x-2Expansi贸n聽vertical=fx

As铆, la representaci贸n final queda:

Ra铆z cuadrada transformada

Apartado 4

Partiendo de la funci贸n de la ilustraci贸n del enunciado, y siguiendo un procedimiento similar al seguido hasta ahora, nos queda:

transformaciones sobre una funci贸n arbitraria

De nuevo, el caso d) es el m谩s dificultoso. Podr铆as tener la tentaci贸n de expandir la funci贸n obtenida en el apartado c). Ser铆a un error. Debes seguir el orden propuesto en teor铆a: comienza por desplazamientos horizontales (en este caso no hay), luego sigue con el resto de transformaciones del eje x, despu茅s con las del eje y teniendo presente que la 煤ltima transformaci贸n a aplicar debe ser el desplazamiento vertical.

Autor art铆culo
Sobre el autor
Jos茅 Luis Fern谩ndez Yag眉es es ingeniero de telecomunicaciones, profesor experimentado y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo a ayudar a la gente a comprender la f铆sica, las matem谩ticas y el desarrollo web. Ama el queso y el sonido del mar.

F贸rmulas

Estas son las principales f贸rmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teor铆a de los apartados relacionados. Adem谩s, en ellos encontrar谩s, bajo la pesta帽a F贸rmulas, los c贸digos que te permitir谩n integrar estas f贸rmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.


Y ahora... consulta m谩s ejercicios relacionados o la teor铆a asociada si te quedaron dudas.

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