Transformación gráfica de funciones
Enunciado
![Dificultad intermedia para los ejercicios de nivel avanzado](https://www.fisicalab.com/sites/all/files/general/dificultadmedio.png)
1.- Dibuja la gráfica de f(x)=x2. A partir de ella dibuja: a)
2.- Dibuja la gráfica de f(x)=1/x. A partir de ella dibuja: a)
3.- Representa
4.- A partir de la gráfica de la función f(x) de la ilustración:
![Función arbitraria sobre la que realizar transformaciones Función arbitraria](/sites/all/files/contenidos/matematicas/ejercicios/Ej2278_1.jpg)
Representa: a) g(x)=-f(-x) ; b) g(x)=3-f(-x) ; c) g(x)=3-f(-2x) ; d) g(x)=3-2·f(-2x-2)
Solución
Resolución
Apartado 1
La gráfica de la función original es una parábola vertical centrada en el origen.
![Parábola vertical centrada en el origen parábola vertical centrada en el origen](/sites/all/files/contenidos/matematicas/ejercicios/Ej2278_2.jpg)
De manera que, en a) tenemos un desplazamiento vertical, en b) un desplazamiento horizontal, en c) una expansión horizontal, y en d) la combinación de una expansión y un desplazamiento horizontales. La ilustración siguiente representa todos estos casos:
![Transformaciones sobre parábola vertical centrada en el origen transformaciones sobre parábola vertical centrada en el origen](/sites/all/files/contenidos/matematicas/ejercicios/Ej2278_3.jpg)
También es interesante escribir la expresión analítica de cada una de estas funciones. Así:
- a) g(x)=f(x)+1=x2+1
- b) g(x)=f(x+2)+1=(x+2)2+1=x2+4x+5
- c) g(x)=f(x/2)=(x/2)2=x2/4
- d)
Merece la pena que observes bien el caso d). Dado que hay que realizar varias transformaciones, el orden es importante, y, si queremos aplicar el visto en teoría, debemos comenzar transformando:
Apartado 2
La gráfica de la función original es una hipérbola centrada en el origen.
![Hipérbola centrada en el origen hipérbola centrada en el origen](/sites/all/files/contenidos/matematicas/ejercicios/Ej2278_4.jpg)
En este caso cada uno de los apartados contiene la expresión desarrollada, que tendemos que identificar con una de las transformaciones posibles sobre la función original en la forma f(x)+k, f(x+k), etc. Por comodidad vamos a llamar a las nuevas funciones g(x) y a la original f(x). Así tenemos:
=> Desplazamiento vertical => Desplazamiento horizontal y vertical => Contracción horizontal Desplazamiento horizontal e inversión.
![Transformaciones sobre hipérbola centrada en el origen transformaciones sobre hipérbola centrada en el origen](/sites/all/files/contenidos/matematicas/ejercicios/Ej2278_5.jpg)
Apartado 3
Para llegar a la representación de la función final comenzaremos con
![Función raíz cuadrada centrada en el origen Raíz cuadrada centrada en el origen](/sites/all/files/contenidos/matematicas/ejercicios/Ej2278_6.jpg)
...y realizaremos las transformaciones siguientes:
Así, la representación final queda:
![Función raíz cuadrada a la que se han aplicado varias trasnformaciones Raíz cuadrada transformada](/sites/all/files/contenidos/matematicas/ejercicios/Ej2278_7.jpg)
Apartado 4
Partiendo de la función de la ilustración del enunciado, y siguiendo un procedimiento similar al seguido hasta ahora, nos queda:
![Transformaciones sobre la función arbitraria de la gráfica transformaciones sobre una función arbitraria](/sites/all/files/contenidos/matematicas/ejercicios/Ej2278_8.jpg)
De nuevo, el caso d) es el más dificultoso. Podrías tener la tentación de expandir la función obtenida en el apartado c). Sería un error. Debes seguir el orden propuesto en teoría: comienza por desplazamientos horizontales (en este caso no hay), luego sigue con el resto de transformaciones del eje x, después con las del eje y teniendo presente que la última transformación a aplicar debe ser el desplazamiento vertical.
Fórmulas
Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.