Enunciado

dificultad

1.- Dibuja la gráfica de f(x)=x2. A partir de ella dibuja: a) gx=fx+1 ; b) gx=fx+2+1 ; c) gx=fx2 ; d) gx=fx-22

2.- Dibuja la gráfica de f(x)=1/x. A partir de ella dibuja:​ a)fx=1x+2 ; b) fx=1x-3+2 ; c)fx=12x ; d) fx=1-x+2

3.- Representa fx=-3-x-2

4.- A partir de la gráfica de la función f(x) de la ilustración:

Función arbitraria

Representa: a) g(x)=-f(-x) ; b) g(x)=3-f(-x) ; c) g(x)=3-f(-2x) ; d) g(x)=3-2·f(-2x-2)


Solución

Resolución

Apartado 1

La gráfica de la función original es una parábola vertical centrada en el origen.

parábola vertical centrada en el origen

De manera que, en a) tenemos un desplazamiento vertical, en b) un desplazamiento horizontal, en c) una expansión horizontal, y en d) la combinación de una expansión y un desplazamiento horizontales. La ilustración siguiente representa todos estos casos:

transformaciones sobre parábola vertical centrada en el origen

También es interesante escribir la expresión analítica de cada una de estas funciones. Así:

  • a) g(x)=f(x)+1=x2+1
  • b) g(x)=f(x+2)+1=(x+2)2+1=x2+4x+5
  • c) g(x)=f(x/2)=(x/2)2=x2/4
  • d) gx=fx-22=x-222=x2-4x+44=x24-x+1

Merece la pena que observes bien el caso d). Dado que hay que realizar varias transformaciones, el orden es importante, y, si queremos aplicar el visto en teoría, debemos comenzar transformando: fx-22=fx2-1.Por otro lado, observa que en la expansión, el punto (1,0) pasa a situarse en el (2,0).

Apartado 2

La gráfica de la función original es una hipérbola centrada en el origen.

hipérbola centrada en el origen

En este caso cada uno de los apartados contiene la expresión desarrollada, que tendemos que identificar con una de las transformaciones posibles sobre la función original en la forma f(x)+k, f(x+k), etc. Por comodidad vamos a llamar a las nuevas funciones g(x) y a la original f(x). Así tenemos:

  • gx=1x+2=fx+2=> Desplazamiento vertical
  • gx=1x-3+2=fx-3+2=> Desplazamiento horizontal y vertical
  • gx=12x=f2x=> Contracción horizontal
  • gx=1-x+2=f-x+2Desplazamiento horizontal e inversión.
transformaciones sobre hipérbola centrada en el origen

Apartado 3

Para llegar a la representación de la función final comenzaremos con gx=x.

Raíz cuadrada centrada en el origen

...y realizaremos las transformaciones siguientes:

gx=xgx-2=x-2Desplazamiento horizontalg-x-2=-x-2Reflexión horizontal-g-x-2=--x-2Reflexión vertical-3·g-x-2=-3·-x-2Expansión vertical=fx

Así, la representación final queda:

Raíz cuadrada transformada

Apartado 4

Partiendo de la función de la ilustración del enunciado, y siguiendo un procedimiento similar al seguido hasta ahora, nos queda:

transformaciones sobre una función arbitraria

De nuevo, el caso d) es el más dificultoso. Podrías tener la tentación de expandir la función obtenida en el apartado c). Sería un error. Debes seguir el orden propuesto en teoría: comienza por desplazamientos horizontales (en este caso no hay), luego sigue con el resto de transformaciones del eje x, después con las del eje y teniendo presente que la última transformación a aplicar debe ser el desplazamiento vertical.

Ficha de fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.