Enunciado

dificultad

Convierte, si es posible, las siguientes funciones definidas por ramas a su forma correspondiente en valor absoluto:

  1. fx=2-xsix<2x-2six2
  2. fx=x23+3x+6six<-6-x23-3x-6si-6x-3x23+3x+6six>-3
  3. fx=-lnxsi0<x1lnxsix>1
  4. fx=x-2six<22-xsix2

Solución

Consideraciones previas

Una condición indispensable para poder definir la función a ramas en forma de valor absoluto es que cada rama siempre sea positiva en el rango de valores de x en el que está definida. Recuerda que los puntos de cambio de rama serían los ceros de la función afectada por el valor absoluto. Por otro lado, cada función se puede definir con el valor absoluto de dos maneras distintas, la que correspondería a la rama en positivo y la que correspondería a la rama cambiada de signo.

Resolución

fx=2-xsix<2x-2six2

Observa que para x<2, 2-x es siempre positivo. Igual ocurre con x-2 para x≥2. Así, cualquiera de las dos formas siguientes nos conduce a la misma representación por ramas:

fx=x-2 ó fx=2-x

fx=x23+3x+6six<-6-x23-3x-6si-6x-3x23+3x+6six>-3

En este caso también podemos comprobar que las tres ramas son positivas para el rango de valores de x que las comprende, de manera que podemos definir la función en forma de valor absoluto según:

fx=x23+3x+6 ó fx=-x23-3x-6

fx=-lnxsi0<x1lnxsix>1

En este caso también vemos que las ramas son positivas para los rangos de x en los que están definidas. Observa que el límite inferior 0 se debe a que la función ln(x) no está definida para valores de x≤0 (dicho de otra manera, Domf=(0,∞). La función puede definirse como valor absoluto, de dos formas:

fx=lnx ó fx=-lnx

fx=x-2six<22-xsix2

Esta función se parece enormemente a la del primer apartado, sin embargo sus ramas tienen imágenes negativas para el rango de valores para los cuales están definidas. Por ejemplo f(0)=-2. Una función en valor absoluto nunca puede tener una imagen negativa, con lo que esta función a trozos no representa una función en valor absoluto.

Ficha de fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

Fórmulas
Apartados relacionados
y=fx=fxsifx0-fxsifx<0
fx=Expr1siSubconjunto1Expr2siSubconjunto2ExprnsiSubconjunton