Enunciado

dificultad
Dificultad f√°cil para los ejercicios de nivel avanzado

Convierte, si es posible, las siguientes funciones definidas por ramas a su forma correspondiente en valor absoluto:

  1. fx=2-xsix<2x-2six‚Č•2
  2. fx=x23+3x+6six<-6-x23-3x-6si-6‚ȧx‚ȧ-3x23+3x+6six>-3
  3. fx=-lnxsi0<x‚ȧ1lnxsix>1
  4. fx=x-2six<22-xsix‚Č•2

Solución

Consideraciones previas

Una condición indispensable para poder definir la función a ramas en forma de valor absoluto es que cada rama siempre sea positiva en el rango de valores de x en el que está definida. Recuerda que los puntos de cambio de rama serían los ceros de la función afectada por el valor absoluto. Por otro lado, cada función se puede definir con el valor absoluto de dos maneras distintas, la que correspondería a la rama en positivo y la que correspondería a la rama cambiada de signo.

Resolución

fx=2-xsix<2x-2six‚Č•2

Observa que para x<2, 2-x es siempre positivo. Igual ocurre con x-2 para x‚Č•2. As√≠, cualquiera de las dos formas siguientes nos conduce a la misma representaci√≥n por ramas:

fx=x-2 ó fx=2-x

fx=x23+3x+6six<-6-x23-3x-6si-6‚ȧx‚ȧ-3x23+3x+6six>-3

En este caso tambi√©n podemos comprobar que las tres ramas son positivas para el rango de valores de x que las comprende, de manera que podemos definir la funci√≥n en forma de valor absoluto seg√ļn:

fx=x23+3x+6 ó fx=-x23-3x-6

fx=-lnxsi0<x‚ȧ1lnxsix>1

En este caso tambi√©n vemos que las ramas son positivas para los rangos de x en los que est√°n definidas. Observa que el l√≠mite inferior 0 se debe a que la funci√≥n ln(x) no est√° definida para valores de x‚ȧ0 (dicho de otra manera, Domf=(0,‚ąě). La funci√≥n puede definirse como valor absoluto, de dos formas:

fx=lnx ó fx=-lnx

fx=x-2six<22-xsix‚Č•2

Esta función se parece enormemente a la del primer apartado, sin embargo sus ramas tienen imágenes negativas para el rango de valores para los cuales están definidas. Por ejemplo f(0)=-2. Una función en valor absoluto nunca puede tener una imagen negativa, con lo que esta función a trozos no representa una función en valor absoluto.

Autor artículo
Sobre el autor
Jos√© Luis Fern√°ndez Yag√ľes es ingeniero de telecomunicaciones, profesor experimentado y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo a ayudar a la gente a comprender la f√≠sica, las matem√°ticas y el desarrollo web. Ama el queso y el sonido del mar.

Fórmulas

Estas son las principales f√≥rmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teor√≠a de los apartados relacionados. Adem√°s, en ellos encontrar√°s, bajo la pesta√Īa F√≥rmulas, los c√≥digos que te permitir√°n integrar estas f√≥rmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

Fórmulas
Apartados relacionados
y=fx=fxsifx‚Č•0-fxsifx<0
fx=Expr1siSubconjunto1Expr2siSubconjunto2‚čģExprnsiSubconjunton

Y ahora... consulta más ejercicios relacionados o la teoría asociada si te quedaron dudas.

Loading...