Pasar función a trozos a valor absoluto

Consideraciones previas

Una condición indispensable para poder definir la función a ramas en forma de valor absoluto es que cada rama siempre sea positiva en el rango de valores de x en el que está definida. Recuerda que los puntos de cambio de rama serían los ceros de la función afectada por el valor absoluto. Por otro lado, cada función se puede definir con el valor absoluto de dos maneras distintas, la que correspondería a la rama en positivo y la que correspondería a la rama cambiada de signo.

Resolución

$$\boxed{f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}2-x& \text{si}& x<2\\ x-2& \text{si}& x\ge 2\end{array}\right.}$$

Observa que para x<2, 2-x es siempre positivo. Igual ocurre con x-2 para x≥2. Así, cualquiera de las dos formas siguientes nos conduce a la misma representación por ramas:

$$f\left(x\right)=\left|x-2\right| \text{ó} f\left(x\right)=\left|2-x\right|$$

$$\boxed{f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{x^2}{3}+3x+6& \text{si}& x<-6\\ -\frac{x^2}{3}-3x-6& \text{si}& -6\le x\le -3\\ \frac{x^2}{3}+3x+6& \text{si}& x>-3\end{array}\right.}$$

En este caso también podemos comprobar que las tres ramas son positivas para el rango de valores de x que las comprende, de manera que podemos definir la función en forma de valor absoluto según:

$$f\left(x\right)=\left|\frac{x^2}{3}+3x+6\right| \text{ó} f\left(x\right)=\left|-\frac{x^2}{3}-3x-6\right|$$

$$\boxed{f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}-\ln \left(x\right)& \text{si}& 0<x\le 1\\ \ln \left(x\right)& \text{si}& x>1\end{array}\right.}$$

En este caso también vemos que las ramas son positivas para los rangos de x en los que están definidas. Observa que el límite inferior 0 se debe a que la función ln(x) no está definida para valores de x≤0 (dicho de otra manera, Dom_f=(0,∞). La función puede definirse como valor absoluto, de dos formas:

$$f\left(x\right)=\left|\ln \left(x\right)\right| \text{ó} f\left(x\right)=\left|-\ln \left(x\right)\right|$$

$$\boxed{f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}x-2& \text{si}& x<2\\ 2-x& \text{si}& x\ge 2\end{array}\right.}$$

Esta función se parece enormemente a la del primer apartado, sin embargo sus ramas tienen imágenes negativas para el rango de valores para los cuales están definidas. Por ejemplo f(0)=-2. Una función en valor absoluto nunca puede tener una imagen negativa, con lo que esta función a trozos no representa una función en valor absoluto.