Enunciado

dificultad

Encuentra las funciones reales que sirven para describir las siguientes situaciones:

  1. La dosis de un determinado medicamente debe comenzar con 6mg el primer día y aumentar 2mg cada día, hasta cumplir la primera semana. A partir de ahí, la dosis se mantiene constante durante otra semana. Finalmente se debe disminuir de manera progresiva hasta desaparecer totalmente en 10 días
  2. Un móvil parte del reposo y aumenta su velocidad con una aceleración constante de 3m/s2 (es decir, aumenta 3m/s la velocidad cada segundo) hasta llegar a los 18m/s. Ahí permanece 10 segundos y después aplica un frenado que reduce su velocidad a razón 6m/s2
  3. El precio por aparcar en un determinado parking es de 0.15$/min las dos primeras horas. Luego se reduce a 0.10$/min durante las 3 horas siguientes. Finalmente, el precio se reduce hasta 0.05$/min a partirdel a quinta hora, hasta un máximo de 50$/min por día

Determina, así mismo, el dominio y el recorrido de todas ellas.


Solución

Resolución

Situación 1

En la primera situación debemos encontrar una función que nos dé la dosis del fármaco en función del día en que nos encontramos. La variable independiente representa, por tanto, el tiempo, medido en días. Así, se trata de 3 tramos. Veamos.

El primero estará definido para la primera semana, es decir, 0<x<7. En él, partimos de una cantidad mínima de 6 mg, y sumamos 2mg al día, es decir y=6+2x.

El segundo se inicia en la segunda semana, es decir, el día 7 y termina una semana después, es decir 7<x<14. En este intervalo la dosis es constante, e igual al valor alcanzado en el día 7, es decir 6+2·7=20. Con lo que y=20.

Finalmente la tercera rama abarca desde el día 14 hasta el 24 (14+10), con lo que 14<x<24. En ella la disminución de la dosis es lineal. Comienza en 20 mg y debe concluir en 0. Como no es trivial como las anteriores, recurriremos a la expresión explícita de una recta y=a·x+b. Sabemos que cuando x=14, y=20, y que cuando x=24, y=0, con lo que podemos resolver el siguiente sistema:

y=a·x+b20=14·a+b0=24a+b-20=-14·a-b0=24a+b-20=10aa=-2b=48y=48-2x

Finalmente, colocando los signos igual () en los extremos de los intervalos, nos queda la función por ramas:

modelado de la primera situación

Modelado primera situación

fx=6+2xsi0<x<720si7x<1448-2xsi14x24

Domf=(0,24] ; Recf=[0,20]

Ten presente que los signos igual ( en este caso ≤ ) podrían ir en otras ramas a las elegidas, pero hemos considerado que no tiene sentido definir la función para días negativos (tampoco justo para el día 0), y que como máximo la dosis está reglada hasta el día 24 (incluido).

Situación 2

En el segundo caso debemos encontrar una función que nos dé la velocidad del móvil en función del tiempo. La variable independiente x representa, por tanto, el tiempo, medido en segundos y la variable dependiente y=f(x), la velocidad medida en m/s. Así, se trata de 3 tramos. Veamos.

El primer tramo es un m.r.u.a.. Para definir el intervalo para el cual está definido debemos conocer el tiempo que tarda en alcanzar los 18m/s. Podemos aplicar la ecuación del m.r.u.a. v=v0+a·t y despejar el tiempo o bien saber que el cuerpo aumenta su velocidad 3m/s cada segundo, con lo que t=18/3=6s. En resumen 0<x<6 (recuerda que hemos llamado x al tiempo). En este tramo y=3·x.

En el segundo tramo, la velocidad permanece constante 10 segundos. Esto es, 6<x<16. En este tramo y=18.

Finalmente en la tercera rama tenemos de nuevo un m.r.u.a. El móvil permanece en este tramo t=3s, con lo que 16<x<19. Para hallar la expresión concreta correspondiente al tramo, hay que considerar que la velocidad varía de manera lineal ( y=a·x+b ), que en x=16, y=18 y que en x=19, y=0, con lo que resolviendo el sistema nos queda:

18=a·16+b0=a·19+b-18=-a·16-b0=a·19+b-18=3·aa=-6 b=114

Es decir, y=114-6·x. Otra forma de proceder es aplicar la ecuación de la velocidad en el m.r.u.a, v=v0+a·t, con a=-6m/s2, pero "centrándola" en x=16, en lugar de en x=0, con lo que nos queda: y=18-6·(x-16). Si necesitas ampliar información sobre este último procedimiento visita el apartado de transformación de funciones, concretamente el apartado sobre desplazamientos horizontales.

En definitiva, la función por ramas, colocando los signos igual () queda:

modelado de la segunda situación

Modelado segunda situación

fx=3·xsi0x618si6<x<1618-6·x-16si16x19

Domf=[0, 19] ; Recf=[0, 18]

De nuevo, ten presente que los signos igual ( ≤ ) podrían ir en otras ramas a las elegidas.

Situación 3

En primer lugar obtenemos una función que nos dé el precio de aparcar (variable dependiente y=f(x) ) en función de los minutos que pasa el coche en el parking (variable independiente x) . Así, se trata de 4 tramos lineales. Veamos.

El primer tramo es inmediato: y=0.15·x y corresponde a 0≤x≤120.

Para el segundo tramo hemos de tener en cuenta que comenzaremos pagando todo el primer tramo (0.15·120=18), y después sumaremos 0.1$ por cada minuto extra, es decir, y=18+0.1·(x-120). Este tramo "dura" 3 horas=180 minutos, esto es, 120<x<300.

El tercer tramo, siguiendo un razonamiento similar, sigue la forma y=36+0.05·(x-300). Para saber cuánto dura el tramo debemos ver cuando se alcanzan los 50$ de máximo.

50=36+0.05·x-300140.05+300=xx=580

Con lo que para el tercer tramo se cumple 300<x<580.

Finalmente, el cuarto tramo dura hasta que acaba el día, que tiene 24 horas = 1440 minutos, 580<x<1440. En él, y=50. A continuación tienes la función a trozos y su representación. Observa que, como hasta ahora, hemos colocado los signos igual ( ) de los límites de las ramas en cualquiera de las 2 posibles para cada límite, pero solo en una de ellas:

modelado de la tercera situación

Modelado tercera situación

fx=0.15·xsi0<x12018+0.1·x-120si120<x30036+0.05·x-300si300<x58050si580<x1440

Domf=(0, 1440] ; Recf=(0, 50]

Ahora, si te sientes un verdadero geek de las matemáticas, observa como puedes "extender" la función para que nos devuelva el precio del parking, independientemente del número de días considerado. Por un lado, tendrás que sumar en cada rama el número de días ya concluidos, con un precio de 50 euros cada día completo. Esto es, el cociente de la división del número de minutos x entre 1440. El cociente debe ser un número entero, y se obtiene a partir de la prueba de la división. Esta nos dice que el dividendo D es igual al cociente C por el divisor d más el resto o residuo R, con lo que:

D=C·d+RC=D-Rd

El dividendo D es precisamente x, el divisor d es 1440, pero debemos expresar el resto en función de estos valores. Podemos hacerlo con la notación x mod 1440 que significa justamente "el resto de dividir x entre 1440".

Por otro lado, allá donde antes ponía x ahora debemos poner ese resto, es decir, x mod 1440. En resumidas cuentas, la función final es:

fx=50·x-x mod 14401440+0.15·x mod 1440si0x mod 144012050·x-x mod 14401440+0.1·x mod 1440-120si120<x mod 144030050·x-x mod 14401440+36+0.05·x mod 1440-300si300<x mod 144058050·x-x mod 14401440+50si580<x mod 1440<1440

Esta vez el dominio es Domf=(0,∞) y el recorrido Recf=(0,∞).

Ficha de fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.