Enunciado

dificultad

Determina el dominio de las siguientes funciones:

  1. fx=3x+1
  2. fx=3x+1+x
  3. fx=x+1
  4. fx=x+1x+1

Solución

Consideraciones previas

Sabemos que el valor absoluto no impone por sí mismo ninguna restricción adicional al dominio. Es decir, Domf = Dom|f| .

Resolución

fx=3x+1

Se trata de un polinomio de primer grado afectado por el valor absoluto. El dominio es el mismo que el de cualquier polinomio, es decir:

Domf=

fx=3x+1+x

En este caso hay una restricción adicional impuesta por la raíz cuadrada, cuyo radicando, x, debe ser mayor o igual que cero.

Domf=[0,)

fx=x+1

En este caso la función valor absoluto está dentro de otra función. Para ver exactamente cómo afecta, podemos pasar a la forma en ramas. Si quieres practicar, visita este ejercicio para pasar de funciones en valor absoluto a funciones a ramas. Aquí seguiremos un método ligeramente distinto para el cambio (e igualmente válido) a fin de que sepas abordar el problema desde distintas perspectivas. Observa:

fx=x+1=x+1six+10-x+1six+1<0

Consiste en aplicar de manera directa la definición de valor absoluto, y=gx=gxsigx0-gxsigx<0 , y ahora desarrollar la función a trozos que queda:

fx=x+1six+10-x+1six+1<0=x+1six-1-x-1six<-1=-x-1six<-1x+1six-1

Como puedes observar, los valores en el interior de la raíz para cada rama son siempre positivos (ó 0), es decir:

Domf=

fx=x+1x+1

En este caso, vamos a proceder de manera similar, teniendo en cuenta que hay un denominador que impone la restricción de que no puede hacerse cero, y la raíz cuadrada que obliga al radicando a ser mayor o igual que cero. Del denominador podemos ya deducir que el dominio final no puede tener el valor x=-1. En cuanto a la restricción de la raíz, debemos pasar a la forma a trozos:

fx=x+1x+1=x+1x+1six+10-x+1x+1six+1<0

Llegados a este punto observa que podemos hacer simplificaciones adicionales:

fx=x+1x+1six+10-x+1x+1six+1<0=1six-1-1six<-1

Como no existe la raíz de menos 1, podemos eliminar del dominio toda la rama inferior (x<-1). En cuánto a la rama superior, recuerda que ya habíamos quitado del dominio el -1, que anulaba el denominador. Aunque simplifiquemos no debemos quitar las restricciones al dominio impuestas por la función antes de simplificar, es decir:

Domf=(-1,)

Ficha de fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

Fórmulas
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