Dominio de funciones en valor absoluto

Consideraciones previas

Sabemos que el valor absoluto no impone por sí mismo ninguna restricción adicional al dominio. Es decir, Dom_f = Dom_|f| .

Resolución

$$\boxed{f\left(x\right)=\left|3x+1\right|}$$

Se trata de un polinomio de primer grado afectado por el valor absoluto. El dominio es el mismo que el de cualquier polinomio, es decir:

$$Do{m}_f=\mathrm{ℝ}$$

$$\boxed{f\left(x\right)=\left|3x+1\right|+\sqrt{x}}$$

En este caso hay una restricción adicional impuesta por la raíz cuadrada, cuyo radicando, x, debe ser mayor o igual que cero.

$$Do{m}_f=[0,\infty )$$

$$\boxed{f\left(x\right)=\sqrt{\left|x+1\right|}}$$

En este caso la función valor absoluto está dentro de otra función. Para ver exactamente cómo afecta, podemos pasar a la forma en ramas. Si quieres practicar, visita este ejercicio para pasar de funciones en valor absoluto a funciones a ramas. Aquí seguiremos un método ligeramente distinto para el cambio (e igualmente válido) a fin de que sepas abordar el problema desde distintas perspectivas. Observa:

$$f\left(x\right)=\sqrt{\left|x+1\right|}=\left\{\begin{array}{ccc}\sqrt{x+1}& \text{si}& x+1\ge 0\\ \sqrt{-\left(x+1\right)}& \text{si}& x+1<0\end{array}\right.$$

Consiste en aplicar de manera directa la definición de valor absoluto, $y=\left|g\left(x\right)\right|=\left\{\begin{array}{ccc}g\left(x\right)& \text{si}& g\left(x\right)\ge 0\\ -g\left(x\right)& \text{si}& g\left(x\right)<0\end{array}\right.$ , y ahora desarrollar la función a trozos que queda:

$$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}\sqrt{x+1}& \text{si}& x+1\ge 0\\ \sqrt{-\left(x+1\right)}& \text{si}& x+1<0\end{array}\right.=\left\{\begin{array}{ccc}\sqrt{x+1}& \text{si}& x\ge -1\\ \sqrt{-x-1}& \text{si}& x<-1\end{array}\right.=\left\{\begin{array}{ccc}\sqrt{-x-1}& \text{si}& x<-1\\ \sqrt{x+1}& \text{si}& x\ge -1\end{array}\right.$$

Como puedes observar, los valores en el interior de la raíz para cada rama son siempre positivos (ó 0), es decir:

$$Do{m}_f=\mathrm{ℝ}$$

$$\boxed{f\left(x\right)=\sqrt{\frac{\left|x+1\right|}{x+1}}}$$

En este caso, vamos a proceder de manera similar, teniendo en cuenta que hay un denominador que impone la restricción de que no puede hacerse cero, y la raíz cuadrada que obliga al radicando a ser mayor o igual que cero. Del denominador podemos ya deducir que el dominio final no puede tener el valor x=-1. En cuanto a la restricción de la raíz, debemos pasar a la forma a trozos:

$$f\left(x\right)=\sqrt{\frac{\left|x+1\right|}{x+1}}=\left\{\begin{array}{ccc}\sqrt{\frac{x+1}{x+1}}& \text{si}& x+1\ge 0\\ \sqrt{\frac{-\left(x+1\right)}{x+1}}& \text{si}& x+1<0\end{array}\right.$$

Llegados a este punto observa que podemos hacer simplificaciones adicionales:

$$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}\sqrt{\frac{x+1}{x+1}}& \text{si}& x+1\ge 0\\ \sqrt{\frac{-\left(x+1\right)}{x+1}}& \text{si}& x+1<0\end{array}\right.=\left\{\begin{array}{ccc}1& \text{si}& x\ge -1\\ \cancel{\sqrt{-1}}& \text{si}& x<-1\end{array}\right.$$

Como no existe la raíz de menos 1, podemos eliminar del dominio toda la rama inferior (x<-1). En cuánto a la rama superior, recuerda que ya habíamos quitado del dominio el -1, que anulaba el denominador. Aunque simplifiquemos no debemos quitar las restricciones al dominio impuestas por la función antes de simplificar, es decir:

$$Do{m}_f=(-1,\infty )$$