Componer funciones

Consideraciones previas

Observa las distintas notaciones utilizadas: g[f(x)] = (g∘f)(x) = g∘f.

Resolución

$$\boxed{f\left(x\right)=x^2+5x-3 ;\hspace{0.17em}g\left(x\right)=x^2 \Rightarrow f\left[g\left(x\right)\right] , g\left[f\left(x\right)\right], g\left[f\left(1\right)\right]}$$

$$f\left[g\left(x\right)\right]={\left(g\left(x\right)\right)}^2+5\left(g\left(x\right)\right)-3={\left(x^2\right)}^2+5\left(x^2\right)-3=x^4+5x^2-3$$

$$g\left[f\left(x\right)\right]={\left(f\left(x\right)\right)}^2={\left(x^2+5x-3\right)}^2$$

Para calcular g[f(1)] podemos calcular f(1) y evaluar g(x) en ese valor, o bien evaluar la función compuesta g[f(x)] en x=1:

1. $$f\left(1\right)=1^2+5·1-3=3 \Rightarrow g\left(3\right)=3^2=9$$
2. $$g\left[f\left(1\right)\right]={\left(1^2+5·1-3\right)}^2=9$$

Observa que no se cumple la propiedad conmutativa, es decir, f[g(x)] es distinto de g[f(x)].

$$\boxed{f\left(x\right)=\cos \left(x\right) ;\hspace{0.17em}g\left(x\right)=x^2 \Rightarrow \left(f\circ g\right)\left(x\right) , \left(g\circ f\right)\left(x\right) , \left(g\circ g\right)\left(x\right)}$$

$$f\circ g=f\left[g\left(x\right)\right]=\cos \left(x^2\right)$$

$$g\circ f=g\left[f\left(x\right)\right]={\left(\cos \left(x\right)\right)}^2$$

$$g\circ g=g\left[g\left(x\right)\right]={\left(x^2\right)}^2=x^4$$

$$\boxed{f\left(x\right)=3x ;\hspace{0.17em}g\left(x\right)=\frac{x}{3} \Rightarrow f\circ g , g\circ f , g\circ g \text{en} x=2}$$

$$f\circ g=f\left[g\left(x\right)\right]=3\left(\frac{x}{3}\right)=x$$

$$g\circ f=g\left[f\left(x\right)\right]=\frac{\left(3x\right)}{3}=x$$

$$g\circ g=g\left[g\left(x\right)\right]=\frac{{\displaystyle \frac{x}{3}}}{3}=\frac{x}{9}\Rightarrow g\circ g \text{en} x=2 =\hspace{0.17em}\frac{2}{9}$$

Como puedes ver, f y g son en este caso inversas, ya que de su composición se obtiene la función identidad.

$$\begin{gathered} \boxed{f\left(x\right)=\ln \left(x+2\right) ;\hspace{0.17em}g\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{x}} \Rightarrow \\ \text{"f compusta con g" y "g compuesta con f"}} \end{gathered}$$

"f compuesta con g" es g[f(x)]:

$$g\left[f\left(x\right)\right]=\frac{1}{\sqrt{\ln \left(x+2\right)}}$$

"g compuesta con f" es f[g(x)]:

$$g\left[g\left(x\right)\right]=\ln \left(\frac{1}{\sqrt{x}}+2\right)$$