Enunciado

dificultad
Dificultad f√°cil para los ejercicios de nivel avanzado

Realiza las siguientes composiciones de funciones:

  • fx=x2+5x-3¬†;‚ÄČgx=x2¬†‚áífgx¬†,¬†gfx,¬†gf1
  • fx=cosx¬†;‚ÄČgx=x2¬†‚áíf‚ąėgx¬†,¬†g‚ąėfx¬†,¬†g‚ąėgx
  • fx=3x¬†;‚ÄČgx=x3¬†‚áíf‚ąėg¬†,¬†g‚ąėf¬†,¬†g‚ąėg¬†en¬†x=2
  • fx=lnx+2¬†;‚ÄČgx=1x¬†‚áí"f¬†compusta¬†con¬†g"¬†y¬†"g¬†compuesta¬†con¬†f"

Solución

Consideraciones previas

Observa las distintas notaciones utilizadas: g[f(x)] = (g‚ąėf)(x) = g‚ąėf.

Resolución

fx=x2+5x-3¬†;‚ÄČgx=x2¬†‚áífgx¬†,¬†gfx,¬†gf1

fgx=gx2+5gx-3=x22+5x2-3=x4+5x2-3

gfx=fx2=x2+5x-32

Para calcular g[f(1)] podemos calcular f(1) y evaluar g(x) en ese valor, o bien evaluar la función compuesta g[f(x)] en x=1:

  1. f1=12+5·1-3=3 ⇒g3=32=9
  2. gf1=12+5·1-32=9

Observa que no se cumple la propiedad conmutativa, es decir, f[g(x)] es distinto de g[f(x)].

fx=cosx¬†;‚ÄČgx=x2¬†‚áíf‚ąėgx¬†,¬†g‚ąėfx¬†,¬†g‚ąėgx

f‚ąėg=fgx=cosx2

g‚ąėf=gfx=cosx2

g‚ąėg=ggx=x22=x4

fx=3x¬†;‚ÄČgx=x3¬†‚áíf‚ąėg¬†,¬†g‚ąėf¬†,¬†g‚ąėg¬†en¬†x=2

f‚ąėg=fgx=3x3=x

g‚ąėf=gfx=3x3=x

g‚ąėg=ggx=x33=x9‚áíg‚ąėg¬†en¬†x=2¬†=‚ÄČ29

Como puedes ver, f y g son en este caso inversas, ya que de su composición se obtiene la función identidad.

fx=lnx+2¬†;‚ÄČgx=1x¬†‚áí"f¬†compusta¬†con¬†g"¬†y¬†"g¬†compuesta¬†con¬†f"

"f compuesta con g" es g[f(x)]:

gfx=1lnx+2

"g compuesta con f" es f[g(x)]:

ggx=ln1x+2

Autor artículo
Sobre el autor
Jos√© Luis Fern√°ndez Yag√ľes es ingeniero de telecomunicaciones, profesor experimentado y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo a ayudar a la gente a comprender la f√≠sica, las matem√°ticas y el desarrollo web. Ama el queso y el sonido del mar.

Fórmulas

Estas son las principales f√≥rmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teor√≠a de los apartados relacionados. Adem√°s, en ellos encontrar√°s, bajo la pesta√Īa F√≥rmulas, los c√≥digos que te permitir√°n integrar estas f√≥rmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

Fórmulas
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x‚Üíffx‚Üíggfx=g‚ąėfx

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