Funciones compuestas, tablas y gráficas

Consideraciones previas

Hay que tener presente que, por ejemplo, $\left(f\circ g\right)\left(2\right)=f\left[g\left(2\right)\right]$, es decir, el valor de la función compuesta en un punto se puede obtener a partir de los valores en ese punto de las funciones que la componen, con lo que el cálculo se reduce a buscar estos valores en la tabla o en la gráfica.

Resolución

$$\boxed{\left(f\circ g\right)\left(2\right)}$$

Según la tabla...

$$\left(f\circ g\right)\left(2\right)=f\left[g\left(2\right)\right]=f\left(3\right)=2$$

Según la gráfica...

$$\left(f\circ g\right)\left(2\right)=f\left[g\left(2\right)\right]=f\left(3\right)=-1$$

$$\boxed{\left(g\circ f\right)\left(2\right)}$$

Según la tabla...

$$\left(g\circ f\right)\left(2\right)=g\left[f\left(2\right)\right]=g\left(1\right)=4$$

Según la gráfica...

$$\left(g\circ f\right)\left(2\right)=g\left[f\left(2\right)\right]=g\left(1\right)=2$$

$$\boxed{\left(f\circ f\right)\left(1\right)}$$

Según la tabla...

$$\left(f\circ f\right)\left(1\right)=f\left[f\left(1\right)\right]=f\left(1\right)=2$$

Según la gráfica...

$$\left(f\circ f\right)\left(1\right)=f\left[f\left(1\right)\right]=f\left(3\right)=-1$$

$$\boxed{\left(f\circ g\circ f\right)\left(3\right)}$$

Según la tabla...

$$\left(f\circ g\circ f\right)\left(3\right)=f\left[g\left[f\left(3\right)\right]\right]=f\left[g\left(2\right)\right]=f\left(3\right)=2$$

Según la gráfica...

$$\left(f\circ g\circ f\right)\left(3\right)=f\left[g\left[f\left(3\right)\right]\right]=f\left[g\left(-1\right)\right]=\nexists$$

Por tanto, x=3 sería un elemento a quitar del dominio de la función compuesta.