Cálculo de la función inversa

Consideraciones previas

Seguiremos el procedimiento estudiado en teoría, esto es: 

1. Hacemos f(x)=y
2. Intercambiamos x e y
3. Despejamos y en función de x. Esta función obtenida es la inversa de la original

Recuerda, además, que una vez calculada la inversa puedes asegurarte que no has fallado comprobando que, efectivamente:

$$\left(f\circ f^{-1}\right)\left(x\right)=\left(f^{-1}\circ f\right)\left(x\right)=x$$

Resolución

1.-

$$\boxed{f\left(x\right)=-3x+1}$$

El desarrollo sería:

$$\begin{gathered} y=-3x+1\Rightarrow x=-3y+1\Rightarrow 3y=1-x\Rightarrow y=\frac{1-x}{3}\Rightarrow \\ \Rightarrow \overline{)\underline{f^{-1}\left(x\right)=\frac{1-x}{3}}} \end{gathered}$$

2.-

$$\boxed{f\left(x\right)=\frac{2}{3-3x}}$$

En este caso nos queda:

$$\begin{gathered} y=\frac{2}{3-3x}\Rightarrow x=\frac{2}{3-3y}\Rightarrow 3x-3xy=2\Rightarrow y=\frac{3x-2}{3x}=1-\frac{2}{3x}\Rightarrow \\ \Rightarrow \overline{)\underline{f^{-1}\left(x\right)=1-\frac{2}{3x}}} \end{gathered}$$

3.-

$$\boxed{f\left(x\right)=\sqrt[3]{2x+1}}$$

Para este radical nos quedaría la función inversa:

$$\begin{gathered} y=\sqrt[3]{2x+1}\Rightarrow x=\sqrt[3]{2y+1}\underset{{\left(\right)}^3={\left(\right)}^3}{\Rightarrow }{x}^3={\left(\sqrt[3]{2y+1}\right)}^3\Rightarrow y=\frac{x^3-1}{2}\Rightarrow \\ \Rightarrow \overline{)\underline{f^{-1}\left(x\right)=\frac{x^3-1}{2}}} \end{gathered}$$

4.-

$$\boxed{f\left(x\right)=\frac{2+x}{2-x}}$$

En este caso desarrollaremos:

$$\begin{gathered} y=\frac{2+x}{2-x}\Rightarrow x=\frac{2+y}{2-y}\Rightarrow x\left(2-y\right)=2+y\Rightarrow 2x-xy=2+y\Rightarrow y\left(1+x\right)=2x-2\Rightarrow y=\frac{2x-2}{1+x} \\ \Rightarrow \overline{)\underline{f^{-1}\left(x\right)=2\frac{x-1}{x+1}}} \end{gathered}$$

5.-

$$\boxed{f\left(x\right)=\ln \left(x-1\right)}$$

Recuerda que ln significa logaritmo neperiano, es decir, un logaritmo cuya base es el número e. Así, podemos escribir:

$$\begin{gathered} y=\ln \left(x-1\right)\Rightarrow x=\ln \left(y-1\right)\underset{e^{\left(\right)}=e^{\left(\right)}}{\Rightarrow }{e}^x=e^{\ln \left(y-1\right)}\underset{e^{\ln \left(a\right)}=a}{\Rightarrow }{e}^x=y-1\Rightarrow y=e^x+1 \\ \Rightarrow \overline{)\underline{f^{-1}\left(x\right)=e^x+1}} \end{gathered}$$