Enunciado

dificultad
Dificultad intermedia para los ejercicios de nivel avanzado

Calcula las siguientes funciones compuestas y su dominio:

  • fx=x+3;gx=x2-2x-1;fg
  • fx=x-1;gx=3x+1;fgygf
  • fx=xx+2;gx=1x-1;fg
  • fx=x-3;gx=xx+2;fg
  • fx=-3x2-2;gx=x+1x;gf

驴Encuentras algo de especial en este 煤ltimo caso?

Soluci贸n

Consideraciones previas

En primer lugar, realizaremos la composici贸n pedida, y posteriormente calcularemos el dominio.

Cuando se calcula el dominio de la funci贸n compuesta, puedes tener la tentaci贸n de calcular directamente el dominio a partir de la expresi贸n de esta, pero ser铆a un error. Hay que tener en cuenta los dominios y recorridos de las funciones que la componen. Concretamente, recuerda que, como hemos visto en teor铆a, cuando聽calculas聽f鈭榞 primero act煤a g聽sobre los valores de x y luego act煤a f sobre los valores de g(x). Es decir, se deben satisfacer las dos condiciones siguientes:

Domgf:xDomffxDomg

Resoluci贸n

fx=x+3;gx=x2-2x-1;fg

fg=fgx=gx+3=x2-2x-1+3=x2-2x-2

Para el c谩lculo del dominio, el procedimiento sistem谩tica que seguiremos ser谩 siempre el mismo. Debenos cumplir la condici贸n Domgf:xDomffxDomg, con lo que comenzamos estudiando los dominios de las funciones:

Domf:-<x<Domg:-<x<

Ahora, para el c谩lculo del dominio de la composici贸n debemos buscar los x que satisfacen las dos condiciones se帽aladas:

Domfg:xDomggxDomf-<x<-<x2-2x-1<1

Observa que para llegar a la condici贸n en [1] lo que hemos hecho es coger el dominio de la funci贸n f, y donde pon铆a x poner en su lugar g(x). Los valores de x que cumplen quedan:

Domfg:xDomggxDomf-<x<-<x2-2x-1<Domfg=

fx=x-1;gx=3x+1;fgygf

Comenzamos calculando f鈭榞:

fg=fgx=gx-1=3x+1-1=3x

En cuanto a su dominio, comenzamos calculando el dominio de las funciones integrantes...

Domf:x-10x1Domg:-<x<

Y ahora calculamos la condici贸n del dominio de la composici贸n de funciones:

Domfg:xDomggxDomf-<x<3x-11x23Domfg=[23,)

Ten presente que la expresi贸n 3x-11 viene de sustituir x por g(x) en x1, que era el dominio de f.

Vamos ahora al c谩lculo de g鈭榝:

gf=gfx=3fx+1=3x-1+1

Domgf:xDomffxDomgx1-<x-1<x1x1Domfg=[1,)

fx=xx+2;gx=1x-1;fg

fg=fgx=gxgx+2=1x-11x-1+2=12x-1

En cuanto al dominio de las funciones de la operaci贸n:

Domf:x+20x-2Domg:x-10x1

Domfg:xDomggxDomfx11x-1-2x1x12Domfg=-12,1

Comenzamos co nel c谩lculo de la funci贸n compuesta:

fg=fgx=gx-3=xx+2-3

Ahora el dominio de las funciones que la componen:

Domf:x-30x3Domg:x+20x-2

Y ahora vamos al c谩lculo del dominio de la compuesta:

Domfg:xDomggxDomfx-2xx+23

Para resolver la desigualdad racional xx+23, despejamos (dejamos en un miembro el 0) y hacemos uso de un cuadro de signos:

xx+23xx+2-30x-3x+2x+20-2x-6x+20

Los extremos de los intervalos a considerar son aquellos puntos que anulan el numerador o el denominador:

-2x-6=0x=-3x+2=0x=-2

(-鈭,-3) (-3,-2) (-2,鈭)
(-2x-6) -2路(-4)-6鈬+ -2路(-2.5)-6鈬- -2路(0)-6鈬-
(x+2) -4+2鈬- -2.5+2鈬- 0+2鈬+
(-2x-6)/(x+2) - + -

Como nos debemos quedar con los 鈮0, estos es el intervalo [-3,-2]. El dominio final, por tanto, queda:

Domfg:xDomggxDomfx-2xx+23x-2-3x-2Domfg=[-3,-2)

fx=-3x2-2;gx=x+1x;gf

Empecemos por el c谩lculo de la funci贸n compuesta f compuesta con g:

gf=gfx=fx+1=-3x2-2+1=-3x2-1

Hasta aqu铆 nada de especial... Sigamos con el procedimiento:

Domf:Domg:x+10x-1

Vamos ahora al c谩lculo del dominio de la funci贸n compuesta:

Domgf:xDomffxDomg-3x2-2-1

Ahora, cuando intentamos determinar -3x2-2-1...

-3x2-2-1-3x2-2+10-3x2-10x=-4-3-12-3

Quiere decir que toda la par谩bola tiene igual signo. Por continuar con el mismo sistema, podemos usar un cuadro de signos:

(-鈭,鈭)
(-3x2-1) -3路02-1 鈬-

Nos damos cuenta de que no existe soluci贸n. Efectivamente, se trata de una par谩bola cuyo v茅rtice est谩 por debajo del eje x con las ramas hacia abajo, con lo que es imposible satisfacer -3x2-2-1, con lo que tenemos:

Domgf:xDomffxDomg-3x2-2-1Domfg=

Dicho de otra manera, no es posible realizar la composici贸n pedida. Recuerda que, como hemos visto en la teor铆a asociada, para que exista la composici贸n el recorrido de la primera funci贸n que act煤a debe tener elementos comunes con el dominio de la segunda. En este caso, la primera funci贸n que act煤a es f, cuyo recorrido Recf=(-鈭,-2] no tiene elementos en com煤n con Domg.

Autor art铆culo
Sobre el autor
Jos茅 Luis Fern谩ndez Yag眉es es ingeniero de telecomunicaciones, profesor experimentado y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo a ayudar a la gente a comprender la f铆sica, las matem谩ticas y el desarrollo web. Ama el queso y el sonido del mar.

F贸rmulas

Estas son las principales f贸rmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teor铆a de los apartados relacionados. Adem谩s, en ellos encontrar谩s, bajo la pesta帽a F贸rmulas, los c贸digos que te permitir谩n integrar estas f贸rmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

F贸rmulas
Apartados relacionados
xffxggfx=gfx
Domgf=xDomf|fxDomg

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