Comprobar que dos funciones son inversas

Consideraciones previas

Recuerda que, cuando dos funciones son inversas, de su composición resulta la función identidad:

$$\left(f\circ f^{-1}\right)\left(x\right)=\left(f^{-1}\circ f\right)\left(x\right)=x$$

Resolución

1.-

$$\boxed{f\left(x\right)=1-\frac{4}{x} ;\hspace{0.17em}g\left(x\right)=\frac{4}{1-x}}$$

Componiendo ambas funciones nos queda...

$$\left(f\circ g\right)\left(x\right)=f\left[g\left(x\right)\right]=1-\frac{4}{{\displaystyle \frac{4}{1-x}}}=1-\frac{4\left(1-x\right)}{4}=\frac{4-4+x}{4}=x$$

Con lo que, efectivamente, $g\left(x\right)=f^{-1}\left(x\right)$, es decir, f es la inversa de g o g la inversa de f

Para comprobar que si (a,b)∈f ⇒ (b,a)∈f^-1, comenzamos buscando el punto b=f(a):

$$b=f\left(a\right)\Rightarrow b=1-\frac{4}{a}=\frac{a-4}{a}$$

Ahora podemos calcular g(b)=f^-1(b) y comprobar si el resultado es a, como nos piden demostrar:

$$f^{-1}\left(b\right)=g\left(b\right)=g\left(\frac{a-4}{a}\right)=\frac{4}{1-{\displaystyle \frac{a-4}{a}}}=\frac{4}{{\displaystyle \frac{a-a+4}{a}}}=\frac{4a}{4}=a$$

Que es justamente lo que queríamos demostrar.

2.-

$$\boxed{f\left(x\right)=x+1 ;\hspace{0.17em}g\left(x\right)=-x-1}$$

En este caso tenemos:

$$\left(f\circ g\right)\left(x\right)=f\left[g\left(x\right)\right]=\left(-x-1\right)+1=-x$$

Con lo que, en esta ocasión, g no es la inversa de f ni f la inversa de g.

3.-

$$\boxed{f\left(x\right)=3x ;\hspace{0.17em}g\left(x\right)=\frac{x}{3}}$$

Componiendo ambas funciones nos queda...

$$f\circ g=f\left[g\left(x\right)\right]=3\left(\frac{x}{3}\right)=x$$

Con lo que, efectivamente, una es la inversa de la otra. Para demostrar la cuestión del punto (a,b), procedemos de manera similar:

$$b=f\left(a\right)=3a; g\left(b\right)=\frac{3a}{3}=a$$