Enunciado

dificultad

Comprueba si las siguientes parejas de funciones son inversas:

  1. fx=1-4x ;gx=41-x
  2. fx=x+1 ;gx=-x-1
  3. fx=3x ;gx=x3

En el caso de que sean inversas, comprueba que si el punto (a,b) pertenece a la primera funci贸n, entonces el punto (b,a) pertenece a su inversa.


Soluci贸n

Consideraciones previas

Recuerda que, cuando dos funciones son inversas, de su composici贸n resulta la funci贸n identidad:

ff-1x=f-1fx=x

Resoluci贸n

1.-

fx=1-4x ;gx=41-x

Componiendo ambas funciones nos queda...

fgx=fgx=1-441-x=1-41-x4=4-4+x4=x

Con lo que, efectivamente, gx=f-1x, es decir, f es la inversa de g o g la inversa de f

Para comprobar que si (a,b)鈭坒 鈬 (b,a)鈭坒-1, comenzamos buscando el punto b=f(a):

b=fab=1-4a=a-4a

Ahora podemos calcular g(b)=f-1(b) y comprobar si el resultado es a, como nos piden demostrar:

f-1b=g(b)=ga-4a=41-a-4a=4a-a+4a=4a4=a

Que es justamente lo que quer铆amos demostrar.

2.-

fx=x+1 ;gx=-x-1

En este caso tenemos:

fgx=fgx=-x-1+1=-x

Con lo que, en esta ocasi贸n, g no es la inversa de f ni f la inversa de g.

3.-

fx=3x ;gx=x3

Componiendo ambas funciones nos queda...

fg=fgx=3x3=x

Con lo que, efectivamente, una es la inversa de la otra. Para demostrar la cuesti贸n del punto (a,b), procedemos de manera similar:

b=fa=3a; gb=3a3=a

Ficha de f贸rmulas

Estas son las principales f贸rmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teor铆a de los apartados relacionados. Adem谩s, en ellos encontrar谩s, bajo la pesta帽a F贸rmulas, los c贸digos que te permitir谩n integrar estas f贸rmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

F贸rmulas
Apartados relacionados
f-1:RecfDomfyx=f-1y , con fx=y
ff-1x=f-1fx=x