Enunciado

dificultad

Comprueba si las siguientes parejas de funciones son inversas:

  1. fx=1-4x ;gx=41-x
  2. fx=x+1 ;gx=-x-1
  3. fx=3x ;gx=x3

En el caso de que sean inversas, comprueba que si el punto (a,b) pertenece a la primera función, entonces el punto (b,a) pertenece a su inversa.


Solución

Consideraciones previas

Recuerda que, cuando dos funciones son inversas, de su composición resulta la función identidad:

ff-1x=f-1fx=x

Resolución

1.-

fx=1-4x ;gx=41-x

Componiendo ambas funciones nos queda...

fgx=fgx=1-441-x=1-41-x4=4-4+x4=x

Con lo que, efectivamente, gx=f-1x, es decir, f es la inversa de g o g la inversa de f

Para comprobar que si (a,b)∈f ⇒ (b,a)∈f-1, comenzamos buscando el punto b=f(a):

b=fab=1-4a=a-4a

Ahora podemos calcular g(b)=f-1(b) y comprobar si el resultado es a, como nos piden demostrar:

f-1b=g(b)=ga-4a=41-a-4a=4a-a+4a=4a4=a

Que es justamente lo que queríamos demostrar.

2.-

fx=x+1 ;gx=-x-1

En este caso tenemos:

fgx=fgx=-x-1+1=-x

Con lo que, en esta ocasión, g no es la inversa de f ni f la inversa de g.

3.-

fx=3x ;gx=x3

Componiendo ambas funciones nos queda...

fg=fgx=3x3=x

Con lo que, efectivamente, una es la inversa de la otra. Para demostrar la cuestión del punto (a,b), procedemos de manera similar:

b=fa=3a; gb=3a3=a

Ficha de fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

Fórmulas
Apartados relacionados
f-1:RecfDomfyx=f-1y , con fx=y
ff-1x=f-1fx=x