Enunciado

dificultad

Determina la gráfica de la función inversa en los siguientes casos:

gráfica de funciones

Solución

Consideraciones previas

En primer lugar, sabemos una función tiene inversa si es inyectiva, esto es, ninguna recta horizontal puede atravesarla en más de 1 punto. De esta manera podemos descartar las funciones 3 y 4, como veremos posteriormente.  

Por otro lado, para representar las inversas de las funciones dadas debemos recordar que estas son simétricas respecto a la recta y=x. Es importante recordar que un punto arbitrario (a,b) de la función original se convertirá en un punto (b,a) en su inversa.

Resolución

1.-

resolución de la primera función

Resolución del primer apartado

La función original, en rojo, tiene como inversa la función en azul. Para encontrarla, dado que es una recta, trasladamos dos puntos arbitrarios -el (-1,1) y el (-3,2) -a sus simétricos respecto a la recta y=x representada en modo discontínuo.

2.-

Resolución segundo apartado

Resolución de la segunda función

La función original, en rojo, tiene como inversa la función en azul. Para encontrarla, trasladamos dos o más puntos arbitrarios y rehacemos la gráfica en la nueva posición. ¿Sabrías decir que a qué expresión analítica corresponde cada función?

3.-

Resolución tercer apartado

Resolución de la tercera función

En esa ocasión la función original no tiene inversa, pues no es inyectiva. Sin embargo, podemos descomponerla en dos ramas que sí son invectivas. Una para los x<0 y otra para los x>0.

4.-

Resolución cuarto apartado

Resolución de la cuarta función

En este caso, estamos ante una recta horizontal. No es inyectiva y no tiene sentido que hablemos de función inversa. De hecho, si trasladásemos varios puntos arbitrarios, como hemos hecho hasta ahora, obtendríamos una recta x=2, que no es una función (a un valor de x corresponden infinitos valores de y).

5.-

Resolución quinto apartado

Resolución de la quinta función

En este caso, siguiendo un proceso similar, obtenemos la función en azul.

6.-

La función inversa de la sexta función es la propia función 1/x

Resolución de la sexta función

Como puedes comprobar, si buscamos la función simétrica de la primera función respecto a la recta y=x llegamos a una gráfica igual a la original. Efectivamente, la funcion f(x)=1/x correspondiente a la función original, en rojo, tiene por simétrica la propia función 1/x ya que fgx=11x=x.

Ficha de fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

Fórmulas
Apartados relacionados
a,bDomf , si fa= fba=b
f-1:RecfDomfyx=f-1y , con fx=y
ff-1x=f-1fx=x