Enunciado

dificultad

Determina la gr谩fica de la funci贸n inversa en los siguientes casos:

gr谩fica de funciones

Soluci贸n

Consideraciones previas

En primer lugar, sabemos una funci贸n tiene inversa si es inyectiva, esto es, ninguna recta horizontal puede atravesarla en m谩s de 1 punto. De esta manera podemos descartar las funciones 3 y 4, como veremos posteriormente.  

Por otro lado, para representar las inversas de las funciones dadas debemos recordar que estas son sim茅tricas respecto a la recta y=x. Es importante recordar que un punto arbitrario (a,b) de la funci贸n original se convertir谩 en un punto (b,a) en su inversa.

Resoluci贸n

1.-

resoluci贸n de la primera funci贸n

Resoluci贸n del primer apartado

La funci贸n original, en rojo, tiene como inversa la funci贸n en azul. Para encontrarla, dado que es una recta, trasladamos dos puntos arbitrarios -el (-1,1) y el (-3,2) -a sus sim茅tricos respecto a la recta y=x representada en modo discont铆nuo.

2.-

Resoluci贸n segundo apartado

Resoluci贸n de la segunda funci贸n

La funci贸n original, en rojo, tiene como inversa la funci贸n en azul. Para encontrarla, trasladamos dos o m谩s puntos arbitrarios y rehacemos la gr谩fica en la nueva posici贸n. 驴Sabr铆as decir que a qu茅 expresi贸n anal铆tica corresponde cada funci贸n?

3.-

Resoluci贸n tercer apartado

Resoluci贸n de la tercera funci贸n

En esa ocasi贸n la funci贸n original no tiene inversa, pues no es inyectiva. Sin embargo, podemos descomponerla en dos ramas que s铆 son invectivas. Una para los x<0 y otra para los x>0.

4.-

Resoluci贸n cuarto apartado

Resoluci贸n de la cuarta funci贸n

En este caso, estamos ante una recta horizontal. No es inyectiva y no tiene sentido que hablemos de funci贸n inversa. De hecho, si traslad谩semos varios puntos arbitrarios, como hemos hecho hasta ahora, obtendr铆amos una recta x=2, que no es una funci贸n (a un valor de x corresponden infinitos valores de y).

5.-

Resoluci贸n quinto apartado

Resoluci贸n de la quinta funci贸n

En este caso, siguiendo un proceso similar, obtenemos la funci贸n en azul.

6.-

La funci贸n inversa de la sexta funci贸n es la propia funci贸n 1/x

Resoluci贸n de la sexta funci贸n

Como puedes comprobar, si buscamos la funci贸n sim茅trica de la primera funci贸n respecto a la recta y=x llegamos a una gr谩fica igual a la original. Efectivamente, la funcion f(x)=1/x correspondiente a la funci贸n original, en rojo, tiene por sim茅trica la propia funci贸n 1/x ya que fgx=11x=x.

Ficha de f贸rmulas

Estas son las principales f贸rmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teor铆a de los apartados relacionados. Adem谩s, en ellos encontrar谩s, bajo la pesta帽a F贸rmulas, los c贸digos que te permitir谩n integrar estas f贸rmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

F贸rmulas
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f-1:RecfDomfyx=f-1y , con fx=y
ff-1x=f-1fx=x
a,bDomf , si fa= fba=b